Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
e) \sum_{n=1}^{\infty}(n-1)(x-2)^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)(x-2)^{n-1}.
O conteúdo envolve teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
a_n = (n-1)(x-2)^{n-1}.
Aplicamos o teste da razão, calculando
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n\,(x-2)^n}{(n-1)\,(x-2)^{n-1}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}\,\bigl|x-2\bigr|.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n-1}=1, o limite da razão é
L = \bigl|x-2\bigr|.
Para convergir é necessário L<1, ou seja
\bigl|x-2\bigr|<1,
portanto o raio de convergência é R=1.

Passo 4

A condição \bigl|x-2\bigr|<1 equivale a
-1 < x-2 < 1
ou seja
1 < x < 3.

Passo 5

Verificamos as fronteiras:
Para x=3, tem-se (x-2)=1 e a série vira
\sum_{n=1}^\infty(n-1)\cdot1^{\,n-1}=\sum_{n=1}^\infty(n-1),
cujo termo geral não tende a zero, logo diverge.
Para x=1, tem-se (x-2)=-1 e a série é
\sum_{n=1}^\infty(n-1)(-1)^{n-1},
cujo termo geral em módulo cresce sem limite, também diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (1,3).

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