Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
d) \sum_{n=1}^{\infty}(n-1)^{3} x^{n-1}
Passo 1
O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)^{3}\,x^{n-1}.
Este é um problema de convergência de séries de potências centradas em 0. Para resolver, vamos reindexar a série num índice mais habitual, em seguida usar o teste da razão para achar o raio de convergência e, por fim, verificar os pontos extremos do intervalo.
Passo 2
Reindexamos definindo k = n-1. Quando n vai de 1 a \infty, k vai de 0 a \infty. Assim a série fica
\sum_{k=0}^{\infty} k^{3}\,x^{k}.
Chamamos o k-ésimo termo de
a_{k} = k^{3}\,x^{k}.
Passo 3
Aplicamos o teste da razão, que diz: se
L = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|
existe, então a série converge se L<1 e diverge se L>1.