Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
d) \sum_{n=1}^{\infty}(n-1)^{3} x^{n-1}

Passo 1

O enunciado pede o raio e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(n-1)^{3}\,x^{n-1}.
Este é um problema de convergência de séries de potências centradas em 0. Para resolver, vamos reindexar a série num índice mais habitual, em seguida usar o teste da razão para achar o raio de convergência e, por fim, verificar os pontos extremos do intervalo.

Passo 2

Reindexamos definindo k = n-1. Quando n vai de 1 a \infty, k vai de 0 a \infty. Assim a série fica
\sum_{k=0}^{\infty} k^{3}\,x^{k}.
Chamamos o k-ésimo termo de
a_{k} = k^{3}\,x^{k}.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, que diz: se
L = \lim_{k\to\infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|
existe, então a série converge se L<1 e diverge se L>1.

Passo 4

Calculamos
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| = \left|\frac{(k+1)^{3}\,x^{\,k+1}}{k^{3}\,x^{\,k}}\right| = \frac{(k+1)^{3}}{k^{3}}\;\bigl|x\bigr| = \Bigl(1+\frac1k\Bigr)^{3}\,\bigl|x\bigr|.
Tomando o limite quando k\to\infty, temos
L = \lim_{k\to\infty}\Bigl(1+\frac1k\Bigr)^{3}\,\bigl|x\bigr| = 1\cdot \bigl|x\bigr| = \bigl|x\bigr|.

Passo 5

Pelo teste da razão, a série converge se \bigl|x\bigr|<1 e diverge se \bigl|x\bigr|>1. Logo o raio de convergência é
R = 1.

Passo 6

Falta checar os extremos \,x=1 e \,x=-1:
  1. Para x=1, a série vira \sum_{k=0}^{\infty}k^{3}, cujos termos não tendem a zero. Diverge.
  2. Para x=-1, a série vira \sum_{k=0}^{\infty}k^{3}(-1)^{k}. Também diverge, pois \bigl|k^{3}(-1)^{k}\bigr|=k^{3}\not\to0.
Portanto, nenhum dos extremos faz a série convergir.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: \,(-1,1).

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