(Função Gamma) a função gamma generaliza a operação fatorial e é definida pela ingral imprópria
Mostre que esta função é recursiva, isto é, mostre que e, portanto, se , então !
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função Gamma, que é tipo uma versão estendida do fatorial. Ela é definida pela integral:
O objetivo aqui é mostrar que essa função é recursiva, ou seja, que . E a partir disso, provar que para números naturais , . Para resolver isso, vamos precisar usar um método de cálculo chamado integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever usando a definição da função Gamma:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a integração por partes nessa integral. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
então
então
Passo 4
Aplicando a integração por partes:
Vamos analisar os termos:
-t^x e^-t |0^infty: Quando t to infty, e^-t decai mais rápido que qualquer potência de t, então o primeiro termo vai para 0. Quando t = 0, t^x também é 0 (para x > 0), então todo esse termo é 0.
A integral restante é:
x integral0^infty t^x-1 e^-t , dt = x Gamma(x)
Passo 5
Então, juntando tudo:
Gamma(x+1) = 0 + x Gamma(x) = x Gamma(x)
Isso mostra que a função Gamma é recursiva, ou seja, Gamma(x+1) = x Gamma(x).
Passo 6
Agora, para mostrar que Gamma(n+1) = n! onde n in N, podemos usar a relação recursiva que acabamos de provar.