(Função Gamma) a função gamma Gamma generaliza a operação fatorial e é definida pela ingral imprópria
Gamma(x)=integral0^infty e^-t t^x-1 d t
Mostre que esta função é recursiva, isto é, mostre que Gamma(x+1)=x Gamma(x) e, portanto, se n in N, então Gamma(n+1)=n!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função Gamma, que é tipo uma versão estendida do fatorial. Ela é definida pela integral:
Gamma(x) = integral0^infty e^-t t^x-1 , dt
O objetivo aqui é mostrar que essa função é recursiva, ou seja, que Gamma(x+1) = x Gamma(x). E a partir disso, provar que para números naturais n, Gamma(n+1) = n!. Para resolver isso, vamos precisar usar um método de cálculo chamado integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever Gamma(x+1) usando a definição da função Gamma:
Gamma(x+1) = integral0^infty e^-t t^(x+1)-1 , dt = integral0^infty e^-t t^x , dt

Passo 3

Agora, vamos aplicar a integração por partes nessa integral. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = t^x então du = x t^x-1 , dt
  • dv = e^-t , dt então v = -e^-t

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
Gamma(x+1) = -t^x e^-t |0^infty + integral0^infty x t^x-1 e^-t , dt
Vamos analisar os termos:
  1. -t^x e^-t |0^infty: Quando t to infty, e^-t decai mais rápido que qualquer potência de t, então o primeiro termo vai para 0. Quando t = 0, t^x também é 0 (para x > 0), então todo esse termo é 0.
  2. A integral restante é:
x integral0^infty t^x-1 e^-t , dt = x Gamma(x)

Passo 5

Então, juntando tudo:
Gamma(x+1) = 0 + x Gamma(x) = x Gamma(x)
Isso mostra que a função Gamma é recursiva, ou seja, Gamma(x+1) = x Gamma(x).

Passo 6

Agora, para mostrar que Gamma(n+1) = n! onde n in N, podemos usar a relação recursiva que acabamos de provar.
Vamos começar com Gamma(1):
Gamma(1) = integral0^infty e^-t t^0 , dt = integral0^infty e^-t , dt = 1
Agora, usando a relação Gamma(n+1) = n Gamma(n), temos:
Gamma(2) &= 1 cdot Gamma(1) = 1 cdot 1 = 1 = 1! Gamma(3) &= 2 cdot Gamma(2) = 2 cdot 1 = 2 = 2! &vdots Gamma(n+1) &= n cdot Gamma(n) = n cdot (n-1)! = n!
Isso confirma que para todo número natural n, Gamma(n+1) = n!.

Resposta

Mostramos que Gamma(x+1) = x Gamma(x) e, portanto, para todo n in N, Gamma(n+1) = n!.

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