Encontre uma raiz aproximada da equação 600 x^{4}-550 x^{3}+200 x^{2}-20 x-\operatorname{lno} intervalo [0.1,1] com tolerância \varepsilon=0.001 para cada um dos seguintes métodos:
Newton-Raphson

Passo 1

O enunciado pede para aproximar uma raiz da equação
f(x) = 600\,x^{4} \;-\;550\,x^{3}\;+\;200\,x^{2}\;-\;20\,x\;-\;1 = 0
no intervalo [0{,}1] usando o método de Newton–Raphson com tolerância \varepsilon=0{,}001.

Passo 2

No método de Newton, a iteração é
x_{n+1} = x_n \;-\;\frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
onde
f'(x) = 2400\,x^{3}\;-\;1650\,x^{2}\;+\;400\,x\;-\;20.

Passo 3

Escolhemos como chute inicial x_0 = 1 (à beira do intervalo). Calculamos então:
f(1)=600-550+200-20-1=229, \quad f'(1)=2400-1650+400-20=1130,
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x_1 = 1 - \frac{229}{1130} \approx 0{,}79735.

Passo 4

Prosseguimos as iterações até que \lvert x_{n+1}-x_n\rvert<0{,}001:
n =1\to 2:
f(0{,}79735)\approx73{,}55,\quad f'(0{,}79735)\approx465{,}6 \;\Longrightarrow\; x_2 = 0{,}79735 - \frac{73{,}55}{465{,}6}\approx0{,}63929,
n =2\to 3:
f(0{,}63929)\approx25{,}50,\quad f'(0{,}63929)\approx188{,}8 \;\Longrightarrow\; x_3\approx0{,}50424,
n =3\to 4:
f(0{,}50424)\approx8{,}07,\quad f'(0{,}50424)\approx69{,}8 \;\Longrightarrow\; x_4\approx0{,}38858,
n =4\to 5:
f(0{,}38858)\approx2{,}82,\quad f'(0{,}38858)\approx26{,}85 \;\Longrightarrow\; x_5\approx0{,}28357,
n =5\to 6:
f(0{,}28357)\approx1{,}87,\quad f'(0{,}28357)\approx15{,}40 \;\Longrightarrow\; x_6\approx0{,}16219 \quad(\Delta\approx0{,}12138>0{,}001).

Passo 5

Continuando:
n =6\to 7:
f(0{,}16219)\approx-0{,}918,\quad f'(0{,}16219)\approx11{,}73 \;\Longrightarrow\; x_7\approx0{,}24049,
n =7\to 8:
f(0{,}24049)\approx0{,}12,\quad f'(0{,}24049)\approx14{,}13 \;\Longrightarrow\; x_8\approx0{,}23199\quad(\Delta\approx0{,}00850>0{,}001),
n =8\to 9:
f(0{,}23199)\approx-0{,}018,\quad f'(0{,}23199)\approx14{,}03 \;\Longrightarrow\; x_9\approx0{,}23328\quad(\Delta\approx0{,}00129>0{,}001),
n =9\to 10:
f(0{,}23328)\approx0{,}005,\quad f'(0{,}23328)\approx13{,}99 \;\Longrightarrow\; x_{10}\approx0{,}23293\quad(\Delta\approx0{,}00035<0{,}001).
Como \lvert x_{10}-x_9\rvert<0{,}001, paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada pela fórmula de Newton–Raphson, com \varepsilon=0{,}001, é
x \approx 0{,}233.

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