Encontre uma raiz aproximada da equação 600 x^{4}-550 x^{3}+200 x^{2}-20 x-\operatorname{lno} intervalo [0.1,1] com tolerância \varepsilon=0.001 para cada um dos seguintes métodos:
Secante

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma raiz aproximada da equação
600x^{4}-550x^{3}+200x^{2}-20x-1=0
no intervalo [0{,}1,1] com tolerância \varepsilon=0{,}001 usando o método da secante. Vamos precisar definir a função
f(x)=600x^{4}-550x^{3}+200x^{2}-20x-1
e usar a fórmula da secante
x_{n+1} = x_{n} - f(x_{n}) \frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}
até que \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<0{,}001.

Passo 2

Escolhemos x_{0}=0{,}1 e x_{1}=1. Calculamos
f(x_{0})=f(0{,}1)\approx -1{,}49, \quad f(x_{1})=f(1)=600-550+200-20-1=229.
Aplicando a secante para obter x_{2}:
x_{2} = 1 - 229\cdot\frac{1-0{,}1}{229-(-1{,}49)} \approx0{,}1055.

Passo 3

Calculamos f(x_{2}) e em seguida x_{3}:
f(0{,}1055)\approx -1{,47}, \quad x_{3} = 0{,}1055 - (-1{,}47)\,\frac{0{,}1055-1}{-1{,}47-229} \approx0{,}1112.

Passo 4

Agora f(x_{3}) e x_{4}:
f(0{,}1112)\approx -1{,}415, \quad x_{4} = 0{,}1112 - (-1{,}415)\,\frac{0{,}1112-0{,}1055}{-1{,}415-(-1{,}47)} \approx0{,}2577.

Passo 5

Em seguida f(x_{4}) e x_{5}:
f(0{,}2577)\approx0{,}364, \quad x_{5} = 0{,}2577 - 0{,}364\;\frac{0{,}2577-0{,}1112}{0{,}364-(-1{,}415)} \approx0{,}2277.

Passo 6

Calculamos f(x_{5}) e x_{6}:
f(0{,}2277)\approx -0{,}060, \quad x_{6} = 0{,}2277 - (-0{,}060)\;\frac{0{,}2277-0{,}2577}{-0{,}060-0{,}364} \approx0{,}2319.

Passo 7

Finalmente f(x_{6}) e x_{7}, e verificamos a convergência:
f(0{,}2319)\approx0{,}00016, \quad x_{7} = 0{,}2319 - 0{,}00016\;\frac{0{,}2319-0{,}2277}{0{,}00016-(-0{,}060)} \approx0{,}23193.
A diferença \lvert x_{7}-x_{6}\rvert\approx0{,}00003<0{,}001, então paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada pela secante é
x\approx0{,}2319.

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