A função f(x)=e^x+12 x possui uma raiz no intervalo [-0,9 ;-0,8]. Calcule barx com quatro casas decimais ( varepsilon=10^-3 e x0 o valor médio do intervalo).

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função e queremos encontrar uma raiz dela, ou seja, um valor de que faz . A raiz está no intervalo . Vamos usar o método da bisseção, que é uma técnica da matemática para encontrar raízes de funções contínuas. Para isso, precisamos calcular o ponto médio do intervalo e ver em qual subintervalo a raiz está, repetindo o processo até chegarmos na precisão desejada, que aqui é .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do intervalo x0 = a + b2 . A fórmula para o ponto médio é:
x0 = -0,9 + (-0,8)2 = -1,72 = -0,85
Onde e . Assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função f(-0,9) = e^-0,9 + 12 times (-0,9) approx 0,40657 - 0,45 = -0,04343 nos pontos f(-0,85) = e^-0,85 + 12 times (-0,85) approx 0,42741 - 0,425 = 0,00241 , f(-0,8) = e^-0,8 + 12 times (-0,8) approx 0,44933 - 0,4 = 0,04933 e :

Passo 4

Vamos verificar onde a raiz está. A gente olha os sinais de f(-0,9) approx -0,04343 e f(-0,85) approx 0,00241 e :
Como é negativo e é positivo, a raiz está entre e . Então, nosso novo intervalo será .

Passo 5

Calculamos o novo ponto médio:
x1 = -0,9 + (-0,85)2 = -1,752 = -0,875
Calculamos f(-0,875) = e^-0,875 + 12 times (-0,875) approx 0,41687 - 0,4375 = -0,02063 :

Passo 6

Verificamos os sinais de f(-0,9) approx -0,04343 e f(-0,875) approx -0,02063 e :
Como ambos são negativos, a raiz está entre e . Novo intervalo: .

Passo 7

Encontramos o próximo ponto médio:
x2 = -0,875 + (-0,85)2 = -1,7252 = -0,8625
Calculamos f(-0,8625) = e^-0,8625 + 12 times (-0,8625) approx 0,42204 - 0,43125 = -0,00921 :

Passo 8

Checamos os sinais de f(-0,8625) approx -0,00921 e f(-0,85) approx 0,00241 e :
A raiz está entre e . Novo intervalo: .

Passo 9

Calculamos o próximo ponto médio:
x3 = -0,8625 + (-0,85)2 = -1,71252 = -0,85625
Calculamos f(-0,85625) = e^-0,85625 + 12 times (-0,85625) approx 0,42457 - 0,42813 = -0,00356 :

Passo 10

Verificamos os sinais de f(-0,85625) approx -0,00356 e f(-0,85) approx 0,00241 e :
A raiz está entre e . Novo intervalo: .

Passo 11

Calculamos o próximo ponto médio:
x4 = -0,85625 + (-0,85)2 = -1,706252 = -0,853125
Calculamos f(-0,853125) = e^-0,853125 + 12 times (-0,853125) approx 0,42614 - 0,42656 = -0,00042 :

Passo 12

Checamos os sinais de f(-0,853125) approx -0,00042 e f(-0,85) approx 0,00241 e :
A raiz está entre e . Novo intervalo: .

Passo 13

Calculamos o próximo ponto médio:
x5 = -0,853125 + (-0,85)2 = -1,7031252 = -0,8515625
Calculamos f(-0,8515625) = e^-0,8515625 + 12 times (-0,8515625) approx 0,42728 - 0,42578 = 0,00150 :

Passo 14

Verificamos os sinais de f(-0,8515625) approx 0,00150 e f(-0,853125) approx -0,00042 e :
A raiz está entre e .

Resposta

A raiz aproximada da função no intervalo com quatro casas decimais é .

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