Encontre uma raiz para a função, f(x)=ln (x^2+1)-x^2+1, no intervalo [1,2]. Utilize o Método da Falsa Posição com 4 dígitos e arredondamento padrão em 5 iterações.

Passo 1

A questão pede para achar uma raiz da função f(x)=ln(x^2+1)-x^2+1 no intervalo [1,2] usando o Método da Falsa Posição. Esse método exige que a função seja contínua no intervalo e que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Para cada iteração, aplicamos a fórmula
c = b - f(b),(b - a)f(b) - f(a)
e depois escolhemos o subintervalo onde ocorre a troca de sinal, até realizar 5 iterações, mantendo todos os valores com 4 dígitos e arredondamento padrão.

Passo 2

Iteração 1: definimos a0=1 e b0=2. Calculamos
f(1)=ln(1^2+1)-1^2+1=ln2approx0,6931,
$$f(2)=\ln(22+1)-22+1=\ln5-3\approx-1{,}3906.
f(2)=ln(2^2+1)-2^2+1=ln5-3approx-1,3906 ó
c_1 = 2 - \frac{(-1{,}3906),(2-1)}{-1{,}3906 - 0{,}6931} \approx 1{,}3321.
c1 = 2 - (-1,3906),(2-1)-1,3906 - 0,6931 approx 1,3321 f(1{,}3321)=\ln(1{,}33212+1)-1{,}33212+1\approx0{,}2459.
$$
Como f(1,3321)=ln(1,3321^2+1)-1,3321^2+1approx0,2459 , o novo intervalo é f(a0)cdot f(c1)>0.

Passo 3

Iteração 2: agora a1=1,3321, b1=2. Já temos
$$f(a_1)\approx0{,}2459,\quad f(b_1)\approx-1{,}3906.
f(a1)approx0,2459, f(b1)approx-1,3906
c_2 = 2 - \frac{(-1{,}3906),(2-1{,}3321)}{-1{,}3906 - 0{,}2459} \approx1{,}4325,
$$
$$f(1{,}4325)\approx0{,}0639.
$$
Como c2 = 2 - (-1,3906),(2-1,3321)-1,3906 - 0,2459 approx1,4325, , o intervalo atualiza para f(1,4325)approx0,0639 .

Passo 4

Iteração 3: com a2=1,4325 e b2=2, temos
$$f(a_2)\approx0{,}0639,\quad f(b_2)\approx-1{,}3906.
f(a2)approx0,0639, f(b2)approx-1,3906
c_3 = 2 - \frac{(-1{,}3906),(2-1{,}4325)}{-1{,}3906 - 0{,}0639} \approx1{,}4574,
$$
$$f(1{,}4574)\approx0{,}0146.
$$
Como c3 = 2 - (-1,3906),(2-1,4325)-1,3906 - 0,0639 approx1,4574, , o próximo intervalo é f(1,4574)approx0,0146 .

Passo 5

Iteração 4: definimos a3=1,4574, b3=2 e usamos
$$f(a_3)\approx0{,}0146,\quad f(b_3)\approx-1{,}3906.
f(a3)approx0,0146, f(b3)approx-1,3906 ã
c_4 = 2 - \frac{(-1{,}3906),(2-1{,}4574)}{-1{,}3906 - 0{,}0146} \approx1{,}4628,
$$
$$f(1{,}4628)\approx0{,}0043.
$$
Como c4 = 2 - (-1,3906),(2-1,4574)-1,3906 - 0,0146 approx1,4628, , escolhemos o intervalo f(1,4628)approx0,0043 .

Passo 6

Iteração 5: por fim, com a4=1,4628 e b4=2, temos
$$f(a_4)\approx0{,}0043,\quad f(b_4)\approx-1{,}3906.
f(a4)approx0,0043, f(b4)approx-1,3906
c_5 = 2 - \frac{(-1{,}3906),(2-1{,}4628)}{-1{,}3906 - 0{,}0043} \approx1{,}4640,
$$
$$f(1{,}4640)\approx0{,}0021.
$$
Este é o valor após 5 iterações com 4 dígitos e arredondamento padrão.

Resposta

1,4640

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