Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função,
no intervalo [0.1, 0.5].
Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
.
Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de
Passo 1
A função em questão é f(x)=cos(x)+ln(x)+x definida no intervalo [0.1, 0.5] e queremos achar uma raiz usando o método da bisseção. Para isso precisamos: avaliar f em a e b, verificar que f(a)·f(b)<0, aplicar iterativamente c=(a+b)/2, escolher o subintervalo com mudança de sinal e parar quando o erro estimado (b−a)/2 for menor que 10⁻³.
Passo 2
Calculamos f nos extremos do intervalo:
– f(0.1)=cos(0.1)+ln(0.1)+0.1≈0.9950−2.3026+0.1≈−1.2076
– f(0.5)=cos(0.5)+ln(0.5)+0.5≈0.8776−0.6931+0.5≈0.6845
Como f(0.1)<0 e f(0.5)>0, há pelo menos uma raiz em [0.1,0.5].
– f(0.1)=cos(0.1)+ln(0.1)+0.1≈0.9950−2.3026+0.1≈−1.2076
– f(0.5)=cos(0.5)+ln(0.5)+0.5≈0.8776−0.6931+0.5≈0.6845
Como f(0.1)<0 e f(0.5)>0, há pelo menos uma raiz em [0.1,0.5].
Passo 3
O número mínimo de iterações n para garantir que o erro (b−a)/2ⁿ<10⁻³ vem de
Passo 4
Substituindo b−a=0.4 e tol=10⁻³:
portanto precisamos de n=9 iterações.
Passo 5
Após 9 iterações o intervalo final é [0.2875, 0.2890625] e a raiz aproximada fica
Resposta
Número de iterações necessárias: 9. Raiz aproximada: x≈0.28828.