Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=cos (x)+ln (x)+x no intervalo [0.1, 0.5].
Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.

Passo 1

A função em questão é f(x)=cos(x)+ln(x)+x definida no intervalo [0.1, 0.5] e queremos achar uma raiz usando o método da bisseção. Para isso precisamos: avaliar f em a e b, verificar que f(a)·f(b)<0, aplicar iterativamente c=(a+b)/2, escolher o subintervalo com mudança de sinal e parar quando o erro estimado (b−a)/2 for menor que 10⁻³.

Passo 2

Calculamos f nos extremos do intervalo:
– f(0.1)=cos(0.1)+ln(0.1)+0.1≈0.9950−2.3026+0.1≈−1.2076
– f(0.5)=cos(0.5)+ln(0.5)+0.5≈0.8776−0.6931+0.5≈0.6845
Como f(0.1)<0 e f(0.5)>0, há pelo menos uma raiz em [0.1,0.5].

Passo 3

O número mínimo de iterações n para garantir que o erro (b−a)/2ⁿ<10⁻³ vem de
n>=lnl((b-a)/tolr)ln2

Passo 4

Substituindo b−a=0.4 e tol=10⁻³:
n>=ln(0.4/10^-3)ln2=ln(400)ln2approx8.64,
portanto precisamos de n=9 iterações.

Passo 5

Após 9 iterações o intervalo final é [0.2875, 0.2890625] e a raiz aproximada fica
tilde x=0.2875+0.28906252=0.28828125

Resposta

Número de iterações necessárias: 9. Raiz aproximada: x≈0.28828.

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