Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x^3-4 x^2-10, no intervalo I=[1,2].
Mostre a função g(x) e faça avaliação da derivada.

Passo 1

O enunciado pede para achar um zero de f(x)=x3−4x2−10 usando Método Iterativo Linear (isto é, iteração de ponto fixo) no intervalo I=[1,2]. Vamos precisar escolher uma transformação x=g(x) tal que todo ponto fixo de g seja raiz de f, e verificar a convergência pelo teste |g’(x)|<1.

Passo 2

Para definir g(x) isolamos x em f(x)=0: x3=4x2+10, logo a escolha natural é
g(x)=(4x^2+10)^1/3

Passo 3

Agora calculamos a derivada de g. Pela regra da cadeia e potência, temos
g'(x)=13(4x^2+10)^-2/3cdot 8x=8x3(4x^2+10)^2/3

Passo 4

Para garantir convergência no intervalo [1,2], avaliamos o máximo de |g’(x)| em I. Como g’(x)>0, basta ver em x=2:
g'(2)=8cdot23(4cdot2^2+10)^2/3=163(26)^2/3approx0,61<1
Ou seja, em todo [1,2] vale |g’(x)|≤0,61, que é estritamente menor que 1.

Passo 5

Como condição de contração está satisfeita, a iteração x_{n+1}=g(x_n) converge a um ponto fixo x^* que é raiz de f. Fazendo algumas iterações com x_0=1,5 obtém-se aproximações: x_1≈2,668, x_2≈3,387, x_3≈3,820, x_4≈4,070, x_5≈4,248, x_6≈4,336, x_7≈4,401, x_8≈4,447, x_9≈4,480, x_{10}≈4,505,… e logo converge para x^*≈4,494.

Passo 6

Portanto o método converge e fornece como raiz aproximada de f em [1,2] o valor x≈4,494.

Resposta

g(x)=(4x2+10){1/3},
g’(x)=\frac{8x}{3(4x2+10){2/3}},
em [1,2] temos |g’(x)|≤0,61<1, logo a iteração converge a x^*≈4,494.

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