Utilize o método da bisseção para encontrar uma raiz aproximada da função, f(x)=2 sen(raizx)-x no intervalo [1.5, 3].
Determine o número de iterações necessárias para uma tolerância de 10^-3.

Passo 1

Queremos achar a raiz de f(x)=2sen(raizx)-x no intervalo [1.5,3] usando o método da bisseção. Para aplicar, precisamos que f seja contínua em [1.5,3] e que haja troca de sinal em suas extremidades.

Passo 2

Verificamos o sinal de f nas extremidades:
  • f(1.5)=2sen(raiz1.5)-1.5approx0.3794>0
  • f(3)=2sen(raiz3)-3approx-1.026<0
    Como f é contínua, existe ao menos uma raiz em [1.5,3].

Passo 3

No método da bisseção a cota de erro após n iterações satisfaz
b-a2^n<=10^-3
Aqui b-a=3-1.5=1.5, logo
1.52^n<=10^-3 Longrightarrow2^n>=1500 Longrightarrow n>=log2(1500)approx10.55
Como n deve ser inteiro, tomamos n=11.

Passo 4

Após 11 iterações o erro máximo é 1.52^11approx7.32times10^-4<10^-3. O ponto médio na 11ª iteração é
x11approx1.97241
Podemos arredondar para três casas decimais: x11approx1.972.

Resposta

Número de iterações necessárias: 11; raiz aproximada: x \approx1.972

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