Utilize o Método Iterativo Linear para encontrar o zero da função, f(x)= x-12 sen(x2), no intervalo I=[-1,1].
Execute o método até 5 iterações. Considere truncamento e 4 casas decimais.

Passo 1

Temos a função f(x)=x-tfrac12senl(tfracx2r) e queremos encontrar sua raiz em [-1,1] usando o método iterativo linear (ponto fixo). Vamos precisar reescrever f(x)=0 como x=g(x) e aplicar iterações truncando a 4 casas decimais.

Passo 2

No método de ponto fixo, definimos
g(x)=12sengl(x2gr)
pois de f(x)=0 vem x=tfrac12sen(x/2). Para garantir convergência, checamos
g'(x)=14cosgl(x2gr),
e como |g'(x)|<=tfrac14<1 em [-1,1], o esquema converge.

Passo 3

Escolhemos o palpite inicial x0=1.0000. A regra de iteração é
xn+1=g(xn)=12senl(xn2r)
e após cada cálculo truncamos para 4 casas decimais.

Passo 4

Cálculo de x1 e x2:
x1 = 12senl(tfrac1.00002r) = 12sen(0.5000) approx 0.2397127ldots implies x1 = 0.2397
x2 = 12senl(tfrac0.23972r) = 12sen(0.11985) approx 0.0597835ldots implies x2 = 0.0597

Passo 5

Cálculo de x3 e x4:
x3 = 12senl(tfrac0.05972r) = 12sen(0.02985) approx 0.0149228ldots implies x3 = 0.0149
x4 = 12senl(tfrac0.01492r) = 12sen(0.00745) approx 0.0037249ldots implies x4 = 0.0037

Passo 6

Cálculo de x5 e conclusão:
x5 = 12senl(tfrac0.00372r) = 12sen(0.00185) approx 0.0009250ldots implies x5 = 0.0009
A sequência converge rapidamente para 0, que é de fato a raiz de f(x) em [-1,1].

Resposta

Aproximação após 5 iterações: x_5 = 0.0009

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