Encontre a raiz da função f(x)=\ln (x)-\operatorname{sen}(x) computacionalmente utilizando o Método da Posição Falsa e precisão \varepsilon=10^{-9}. Como resposta desse exercício, anexe um bloco de notas com o código desenvolvido e um bloco de notas com o resultado da implementação na atividade do Classroom. No início do código, insira um comentário com seu nome, RA e qual linguagem de programação está usando (recomenda-se a utilização da linguagem R por haver material sobre essa linguagem no Classroom, mas pode ser utilizada qualquer linguagem de sua preferência).

Passo 1

O enunciado pede a raiz da função
f(x)=\ln(x)-\operatorname{sen}(x)
usando o Método da Posição Falsa com precisão \varepsilon=10^{-9}.
Conteúdo envolvido: métodos iterativos de busca de raiz, critério de convergência por erro absoluto e sinal de função.

Passo 2

Primeiro buscamos um intervalo [a,b] tal que f(a)\cdot f(b)<0.
Calculamos:
f(1)=\ln(1)-\operatorname{sen}(1)=0-\operatorname{sen}(1)\approx-0,84,
f(2)=\ln(2)-\operatorname{sen}(2)\approx0,693-0,909\approx-0,216,
f(3)=\ln(3)-\operatorname{sen}(3)\approx1,099-0,141\approx0,958.
Logo, f(2)<0 e f(3)>0, então há raiz em [2,3].

Passo 3

Implementamos o Método da Posição Falsa:
  1. Seja
x_r = \frac{a\,f(b) - b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
  1. Avaliamos f(x_r).
  2. Atualizamos o intervalo mantendo o extremo com sinal trocado de sinal em relação a f(x_r).
  3. Repetimos até
    \lvert f(x_r)\rvert<\varepsilon ou \lvert x_r - x_{\text{ant}}\rvert<\varepsilon.

Passo 4

Abaixo o código em R (salvar como, por exemplo, falsa_posicao.R):
# Nome: Seu Nome
# RA: 123456
# Linguagem: R

f <- function(x) log(x) - sin(x)

a <- 2
b <- 3
fa <- f(a)
fb <- f(b)
eps <- 1e-9
xr_old <- a

repeat {
  xr <- (a*fb - b*fa) / (fb - fa)
  fxr <- f(xr)
  if (abs(fxr) < eps || abs(xr - xr_old) < eps) break
  if (fa * fxr < 0) {
    b <- xr; fb <- fxr
  } else {
    a <- xr; fa <- fxr
  }
  xr_old <- xr
}

cat("Raiz aproximada:", format(xr, digits=15), "\n")

Passo 5

Saída obtida ao rodar o script no R:
Raiz aproximada: 2.21910714891375 

Resposta

A raiz aproximada da função \ln(x)-\operatorname{sen}(x) obtida pelo Método da Posição Falsa com \varepsilon=10^{-9} é
x \approx 2.21910714891375.

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