Encontre a raiz das funções abaixo considerando o método de Newton. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão varepsilon=0.01
f(x)=raizx-cos (x)

Passo 1

Estamos buscando a raiz da função f(x)=√x−cos(x) usando o método de Newton. O conteúdo é métodos de raiz (Newton), temos que usar o critério de parada de erro relativo |x_{n+1}−x_n|/|x_{n+1}|<ε com ε=0.01 e precisamos também da derivada f′(x).

Passo 2

Calculemos a derivada de f(x). Temos:
f(x)=raizx-cos(x)
Separando,
f'(x)=12raizx+sin(x)

Passo 3

Escolhemos um palpite inicial x₀=0.5 pois f(0.5)=√0.5−cos(0.5)<0 e f(1)=1−cos(1)>0, indicando troca de sinal nesse intervalo.

Passo 4

Na primeira iteração, computamos f(x₀) e f′(x₀):
f(0.5)=raiz0.5-cos(0.5)approx-0.17048
f'(0.5)=tfrac12raiz0.5+sin(0.5)approx1.18653

Passo 5

Aplicando Newton:
x1=x0-f(x0)f'(x0)=0.5--0.170481.18653approx0.64372

Passo 6

Calculamos o erro relativo:
|x1-x0||x1|=0.143720.64372approx0.223>0.01,
ainda não satisfaz o critério, então continuamos.

Passo 7

Na segunda iteração, avaliamos em x₁:
f(0.64372)=raiz0.64372-cos(0.64372)approx0.00142
f'(0.64372)=tfrac12raiz0.64372+sin(0.64372)approx1.22375

Passo 8

Aplicando Newton:
x2=0.64372-0.001421.22375approx0.64256

Passo 9

Verificamos o erro relativo:
|x2-x1||x2|=0.001160.64256approx0.0018<0.01

Passo 10

Como o erro relativo já é menor que ε=0.01, paramos.

Resposta

A raiz aproximada é x≈0.6426.

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