Encontre a raiz das funções abaixo considerando o método de Newton. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão
Passo 1
Estamos buscando a raiz da função f(x)=√x−cos(x) usando o método de Newton. O conteúdo é métodos de raiz (Newton), temos que usar o critério de parada de erro relativo |x_{n+1}−x_n|/|x_{n+1}|<ε com ε=0.01 e precisamos também da derivada f′(x).
Passo 2
Calculemos a derivada de f(x). Temos:
Separando,
Passo 3
Escolhemos um palpite inicial x₀=0.5 pois f(0.5)=√0.5−cos(0.5)<0 e f(1)=1−cos(1)>0, indicando troca de sinal nesse intervalo.
Passo 4
Na primeira iteração, computamos f(x₀) e f′(x₀):
Passo 5
Aplicando Newton:
Passo 6
Calculamos o erro relativo:
ainda não satisfaz o critério, então continuamos.
Passo 7
Na segunda iteração, avaliamos em x₁:
Passo 8
Aplicando Newton:
Passo 9
Verificamos o erro relativo:
Passo 10
Como o erro relativo já é menor que ε=0.01, paramos.
Resposta
A raiz aproximada é x≈0.6426.