Encontre o raio e o intervalo de convergência de cada série de potências:
sumn=0^infty raizn(x-1)^n

Passo 1

Resumo: Temos a série de potências sumn=0^infty raizn,(x-1)^n centrada em x0=1. Vamos usar o teste da raiz para séries de potências.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, calculamos
limsupntoinfty raiz[n]|raizn,(x-1)^n| = limntoinfty n^12n cdot |x-1| = |x-1|
Para convergência precisamos de |x-1| < 1.

Passo 3

Logo, o raio de convergência é R = 1 e o intervalo inicial de convergência é 1 - 1 < x < 1 + 1, ou seja (0, 2).

Passo 4

Testando as extremidades: em x=2 a série fica sumn=0^infty raizn, cujo termo geral não tende a zero, então diverge; em x=0 fica sumn=0^infty (-1)^n raizn, cujo termo geral também não tende a zero, logo diverge em ambos os extremos.

Resposta

Raio de convergência R = 1, intervalo de convergência (0, 2).

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