Expanda a função
em série de Fourier e faça o gráfico da série no intervalo f(x)=l x^2,-pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para expandir a função $ f(x) $ em uma série de Fourier e depois fazer o gráfico dessa série no intervalo de $ -3\pi $ a $ 3\pi $. A matéria envolvida aqui é a série de Fourier, que é uma forma de representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, precisamos entender como encontrar os coeficientes da série de Fourier e montar a expressão completa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier para uma função periódica $ f(x) $ com período $ T = 2\pi $ é dada por:
f(x)
Aqui, $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ são os coeficientes que vamos calcular. Como nossa função é par (simétrica em relação ao eixo y) no intervalo $ -\pi $ a $ 0 $ e ímpar (simétrica em relação à origem) no intervalo $ 0 $ a $ \pi $, podemos determinar quais coeficientes são zero.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Vamos dividir a integral nos dois intervalos onde a função é definida:
a0

Passo 4

Calculando as integrais:
Primeiro, $ \int_{-\pi}^{0} x^2 , dx $:
integral-pi^0 x^2 , dx
Segundo, $ \int_{0}^{\pi} x , dx $:
integral x^2 , dx = x^33 Rightarrow x^33 |-pi^0 = 0^33 - (-pi)^33 = 0 + pi^33 = pi^33
Então, somando as duas integrais:
integral0^pi x , dx

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. A fórmula é:
an
Como a função $ f(x) $ é par no intervalo $ -\pi $ a $ 0 $ e ímpar no intervalo $ 0 $ a $ \pi $, o produto com $ \cos(nx) $ (que é par) vai resultar em uma função par para a parte par e ímpar para a parte ímpar. A integral da parte ímpar será zero. Então, só precisamos calcular para $ x^2 $:
an = 1pi integral-pi^pi f(x) cos(nx) , dx
Esse cálculo envolve integração por partes e pode ser um pouco longo, mas o importante é seguir o método passo a passo para encontrar $ a_n $.

Passo 6

De maneira semelhante, vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
bn
Aqui, como $ f(x) $ é par no primeiro intervalo e ímpar no segundo, o produto com $ \sin(nx) $ (que é ímpar) resulta em uma função ímpar para a parte par e par para a parte ímpar. A integral da parte par será zero, então focamos na parte ímpar:
bn = 1pi integral-pi^pi f(x) sin(nx) , dx
Novamente, essa integral também requer integração por partes para ser resolvida.

Passo 7

Depois de encontrar os valores de $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $, substituímos na expressão da série de Fourier:
a0
Essa série representa nossa função original $ f(x) $ no intervalo dado, e se estende periodicamente para todo $ x $.

Resposta

A expansão em série de Fourier da função $ f(x) $ é dada por:
f(x)
onde os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ são calculados conforme descrito nos passos anteriores. O gráfico da série de Fourier no intervalo $ -3\pi \leq x \leq 3\pi $ irá mostrar a reconstrução periódica da função original, com a série aproximando $ f(x) $ cada vez mais precisamente à medida que aumentamos o número de termos na soma.

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