Encontre a raiz das funções no intervalo solicitado usando o método de Newton Alternativo. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão varepsilon=0.01
ll3 & 6

Passo 1

O exercício pede para encontrar uma raiz de
f(x)=2e^cos(x)x-0.5
no intervalo [3,6] usando o método de Newton Alternativo, com critério de parada de erro relativo varepsilon=0.01. Vamos precisar de: (a) verificar mudança de sinal de f em [3,6], (b) escolher um chute inicial x0, © calcular o valor fixo f'(x0), e (d) iterar o esquema alternativo
xn+1=xn-f(xn)f'(x0)
até que
|xn+1-xnxn+1|<0.01

Passo 2

Primeiro, conferimos que há raiz em [3,6] avaliando f(3) e f(6):
f(3)=2e^cos33-0.5approx-0.253, f(6)=2e^cos66-0.5approx0.371
Como f(3)cdot f(6)<0, há pelo menos uma raiz no intervalo.

Passo 3

Escolhemos o ponto médio x0=4.5 como chute inicial. Agora precisamos de f'(x). Derivando
f(x)=2e^cos x,/x-0.5
obtemos
f'(x)=2e^cos x(-xsin x-1)x^2
Calculamos então f'(x0):
f'(4.5)approx0.272

Passo 4

Aplicamos o método de Newton Alternativo: mantemos f'(x0)=0.272 fixo e iteramos
xn+1=xn-f(xn)0.272
Começando em x0=4.5:
f(4.5)approx-0.14Rightarrow x1=4.5--0.140.272approx5.0147

Passo 5

Continuamos as iterações, sempre calculando f(xn) e atualizando
xn+1=xn-f(xn)0.272
e avaliando o erro relativo:
|xn+1-xnxn+1|
Na segunda iteração:
f(5.0147)approx0.0353, x2approx4.8849,erroapprox0.0266>0.01
Na terceira iteração:
f(4.8849)approx-0.0128, x3approx4.9320,erroapprox0.0095<0.01

Passo 6

Como o erro relativo caiu abaixo de 0.01, paramos. Obtivemos a raiz aproximada.

Resposta

A raiz aproximada pela Newton Alternativo no intervalo [3,6] é x\approx4.9320.

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