Encontre a raiz das funções no intervalo solicitado usando o método de Newton Alternativo. Para o critério de parada use o erro relativo com precisão varepsilon=0.01
ll6 & 8

Passo 1

O exercício pede para achar a raiz de
função f(x)=ln(x)·√x−x·sen(x) no intervalo [6,8] usando o método de Newton Alternativo (secante),
com critério de parada baseado em erro relativo |(x_{k+1}−x_k)/x_{k+1}|<ε, ε=0.01.

Passo 2

Escolhemos como aproximações iniciais x₀=6 e x₁=8. Calculamos f(x₀) e f(x₁):
f(6)=ln(6)·raiz6−6·sin(6)≈6.0630,
f(8)=ln(8)·raiz8−8·sin(8)≈−2.0307
Como têm sinais opostos, aplicamos a iteração do método (secante):
x2=x1-f(x1)x1-x0f(x1)-f(x0)≈7.4982
O erro relativo é
r2=|x2-x1x2|≈0.0666>0.01

Passo 3

No segundo passo, com x₁=8 e x₂≈7.4982, calculamos f(x₂) e aplicamos novamente:
f(7.4982)≈-1.5183,
x3=7.4982-(-1.5183)7.4982-8-1.5183-(-2.0307)≈6.0096
Erro relativo:
r3=|6.0096-7.49826.0096|≈0.2477>0.01

Passo 4

Repetimos para x₂≈7.4982 e x₃≈6.0096:
f(6.0096)≈6.0244,
x4=6.0096-6.02446.0096-7.49826.0244-(-1.5183)≈7.1991
Erro relativo:
r4=|7.1991-6.00967.1991|≈0.1652>0.01

Passo 5

Mais uma iteração com x₃≈6.0096 e x₄≈7.1991:
f(7.1991)≈-0.4159,
x5=7.1991-(-0.4159)7.1991-6.0096-0.4159-6.0244≈7.1222
Erro relativo:
r5=|7.1222-7.19917.1222|≈0.0108>0.01

Passo 6

Finalmente, com x₄≈7.1991 e x₅≈7.1222:
f(7.1222)≈-0.0513,
x6=7.1222-(-0.0513)7.1222-7.1991-0.0513-(-0.4159)≈7.1114
Erro relativo:
r6=|7.1114-7.12227.1114|≈0.0015<0.01,
portanto atingimos o critério de parada.

Resposta

A raiz aproximada obtida é x≈7.1114.

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