Represente os números complexos
  • (1+i)(1-2 i)(2+i)(1-2 i)
  • (1+2 I)(2-2 I)1+1
    na forma a+b i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente tem duas frações envolvendo números complexos e precisa representá-las na forma padrão a + b i. Para isso, vamos precisar multiplicar, dividir e simplificar expressões com números complexos.

Passo 2

Vamos começar com a primeira fração: (1+i)(1-2i)(2+i)(1-2i). Percebe que o termo (1-2i) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Então, podemos cancelar esse termo pra facilitar a conta.

Passo 3

Após cancelar (1-2i), a fração fica: 1+i2+i. Agora, para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 2 + i é 2 - i.

Passo 4

Multiplicando o numerador e o denominador por 2 - i, temos:
1+i2+i times 2-i2-i = (1+i)(2-i)(2+i)(2-i)
Agora, vamos expandir as multiplicações.

Passo 5

Calculando o numerador:
(1+i)(2-i) = 1 cdot 2 + 1 cdot (-i) + i cdot 2 + i cdot (-i) = 2 - i + 2i - i^2
Lembrando que i^2 = -1, então:
2 - i + 2i - (-1) = 2 + i + 1 = 3 + i
Calculando o denominador:
(2+i)(2-i) = 2 cdot 2 + 2 cdot (-i) + i cdot 2 + i cdot (-i) = 4 - 2i + 2i - i^2
Novamente, i^2 = -1, então:
4 - 2i + 2i - (-1) = 4 + 1 = 5
Então, a fração simplificada é:
3 + i5 = 35 + 15i

Passo 6

Agora vamos resolver a segunda fração: (1+2i)(2-2i)1+1. Primeiro, simplificamos o denominador: 1 + 1 = 2.

Passo 7

Calculando o numerador:
(1+2i)(2-2i) = 1 cdot 2 + 1 cdot (-2i) + 2i cdot 2 + 2i cdot (-2i) = 2 - 2i + 4i - 4i^2
Como i^2 = -1, temos:
2 - 2i + 4i - 4(-1) = 2 + 2i + 4 = 6 + 2i
Agora, dividimos pelo denominador:
6 + 2i2 = 62 + 2i2 = 3 + i

Resposta

As representações dos números complexos na forma a + b i são:
(1+i)(1-2i)(2+i)(1-2i) = 35 + 15i
e
(1+2i)(2-2i)1+1 = 3 + i

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