Encontre as raízes da equação
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação $ Z^{3} = Z_{0} $, onde $ Z_{0} = -1 + \sqrt{3}i $. Esse exercício está no tema de números complexos, especificamente buscando encontrar as raízes cúbicas de um número complexo. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar números complexos no formato polar e aplicar o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o número complexo $ Z_{0} = -1 + \sqrt{3}i $ da forma retangular para a forma polar. Para isso, precisamos encontrar o módulo $ r $ e o argumento $ \theta $ de $ Z_{0} $.
O módulo é dado por:
O argumento $ \theta $ é o ângulo que o número forma com o eixo real. Podemos usar a tangente para encontrá-lo:
Sabemos que $ \tan(\theta) = -\sqrt{3} $ corresponde a $ \theta = \frac{2\pi}{3} $ no segundo quadrante.
Então, a forma polar de $ Z_{0} $ é:
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de De Moivre para encontrar as raízes cúbicas de $ Z_{0} $. Esse teorema nos diz que as raízes $ Z $ de uma equação $ Z^{n} = r \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) $ são dadas por:
No nosso caso, $ n = 3 $, $ r = 2 $, e $ \theta = \frac{2\pi}{3} $. Vamos calcular cada uma das três raízes:
Para $ k = 0 $:
Para $ k = 1 $:
Para $ k = 2 $:
Passo 4
Agora, podemos deixar as raízes na forma polar, mas se quisermos, podemos convertê-las de volta para a forma retangular usando as funções cosseno e seno:
onde $ \phi_{k} $ é o argumento para cada $ Z_{k} $.
Para simplificar, vamos deixar as raízes na forma polar mesmo, já que elas expressam claramente as diferentes soluções no plano complexo.
Resposta
As raízes da equação $ Z^{3} = -1 + \sqrt{3}i $ são: