Usando o ramo principal do logaritmo (de modo que
). Calcule os números complexos.
Prove e verifique se
ou não.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular dois números complexos usando o ramo principal do logaritmo, que garante que o ângulo
fique entre
e
. Vamos precisar entender como calcular o logaritmo de um número complexo e aplicar isso para encontrar
e
. Depois, vamos verificar se
é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Para encontrar o logaritmo de um número complexo, usamos a fórmula:
onde
é o módulo de
e
é o argumento de
no intervalo
.
Passo 3
Vamos encontrar o módulo de
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento de
. O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real. Podemos usar a função arco-tangente:
No entanto, como o número está no segundo quadrante (parte real negativa e imaginária positiva), o argumento correto é:
Passo 5
Agora, aplicando na fórmula do logaritmo:
Passo 6
Vamos calcular
. Primeiro, elevamos
ao cubo. Usando a forma polar:
Então,
Passo 7
Agora, vamos verificar se
. Calculando
:
Comparando com
, vemos que:
Porque há um termo imaginário extra,
.