Usando o ramo principal do logaritmo (de modo que -pi ). Calcule os números complexos.
Z1=log (-1+raiz3 i) e Z2=log ((-1+raiz3 i)^3)
Prove e verifique se 3 Z1=Z3 ou não.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular dois números complexos usando o ramo principal do logaritmo, que garante que o ângulo theta fique entre -pi e pi. Vamos precisar entender como calcular o logaritmo de um número complexo e aplicar isso para encontrar Z1 e Z2. Depois, vamos verificar se 3Z1 é igual a Z2.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular Z1 = log(-1 + raiz3i). Para encontrar o logaritmo de um número complexo, usamos a fórmula:
log(z) = ln|z| + i,Arg(z)
onde |z| é o módulo de z e Arg(z) é o argumento de z no intervalo (-pi, pi].

Passo 3

Vamos encontrar o módulo de -1 + raiz3i:
|z| = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento de -1 + raiz3i. O argumento é o ângulo que o número complexo faz com o eixo real. Podemos usar a função arco-tangente:
theta = arctan(raiz3-1) = arctan(-raiz3) = -pi3
No entanto, como o número está no segundo quadrante (parte real negativa e imaginária positiva), o argumento correto é:
theta = pi - pi3 = 2pi3

Passo 5

Agora, aplicando na fórmula do logaritmo:
Z1 = log(-1 + raiz3i) = ln(2) + i(2pi3)

Passo 6

Vamos calcular Z2 = log((-1 + raiz3i)^3). Primeiro, elevamos -1 + raiz3i ao cubo. Usando a forma polar:
(-1 + raiz3i)^3 = |z|^3 cdot e^i3theta = 2^3 cdot e^i3cdot2pi3 = 8 cdot e^i2pi = 8 cdot 1 = 8
Então,
Z2 = log(8) = ln(8) + icdot 0 = 3ln(2)

Passo 7

Agora, vamos verificar se 3Z1 = Z2. Calculando 3Z1:
3Z1 = 3(ln(2) + i2pi3) = 3ln(2) + i2pi
Comparando com Z2 = 3ln(2), vemos que:
3Z1 = 3ln(2) + i2pi neq 3ln(2) = Z2
Porque há um termo imaginário extra, i2pi.

Resposta

Z1 = ln(2) + i2pi3, Z2 = 3ln(2) e 3Z1 neq Z2.

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