Represente na forma polar.
(i1+i)^3

Passo 1

O exercício pede para representar na forma polar a potência (i/(1+i))^3. O conteúdo é números complexos em forma polar e vamos usar conversão de forma retangular para polar e a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Primeiro simplificamos a fração multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1+i:
i1+icdot1-i1-i =i(1-i)(1+i)(1-i) =i - i^21 - i^2 =i + 11 - (-1) =1 + i2

Passo 3

Chamando z = tfrac1+i2, encontramos seu módulo e argumento. O módulo é:
|z| = raizl(tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 = raiz22
E o argumento é
arg(z) = arctanl(tfrac1/21/2r) = pi4

Passo 4

Aplicamos a fórmula de De Moivre para elevar z ao cubo. O módulo de z^3 é |z|^3 e o argumento é 3arg(z). Assim:
|z|^3 = l(raiz22r)^3 = raiz24,
3arg(z) = 3cdotpi4 = 3pi4

Passo 5

Concluímos que, na forma polar, o resultado tem módulo r = tfracraiz24 e argumento theta = tfrac3pi4.

Resposta

raiz24l(costfrac3pi4+isintfrac3pi4r)

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