Encontre as raízes de f(x)=x^4-2 x^3-17 x^2+4 x+30.

Passo 1

Neste problema queremos encontrar as raízes de f(x)=x^4 -2x^3 -17x^2 +4x +30. Este conteúdo faz parte de fatoração de polinômios e vamos precisar usar o Teorema das Raízes Racionais para achar raízes inteiras ou fracionárias e depois usar divisão sintética para reduzir o grau do polinômio.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as possíveis raízes são divisores de 30: pm 1, pm 2, pm 3, pm 5, pm 6, pm 10, pm 15, pm 30. Testando alguns valores encontramos que f(-3)=(-3)^4 -2(-3)^3 -17(-3)^2 +4(-3) +30=81+54-153-12+30=0, logo x=-3 é raiz de f.

Passo 3

Agora dividimos f(x) por (x+3) usando divisão sintética. O quociente resultante é x^3 -5x^2 -2x +10. Podemos então escrever
f(x) = (x+3)(x^3 -5x^2 -2x +10)

Passo 4

Para fatorar o polinômio cúbico Q(x)=x^3 -5x^2 -2x +10, aplicamos novamente o Teorema das Raízes Racionais e testamos possíveis raízes. Vendo que Q(5)=5^3 -5cdot5^2 -2cdot5 +10=125-125-10+10=0, concluímos que x=5 é raiz.

Passo 5

Dividindo Q(x) por (x-5) via divisão sintética, obtemos o polinômio quadrático x^2 -2. Assim,
x^3 -5x^2 -2x +10 = (x-5)(x^2 -2)

Passo 6

Finalmente, resolvemos x^2 -2 =0. Aplicando a fórmula de raízes de uma equação quadrática simples, ou reconhecendo diferença de quadrados, temos
x = pm raiz2

Passo 7

Reunindo todas as raízes encontradas, as soluções da equação f(x)=0 são x=-3, x=5, x=raiz2 e x=-raiz2.

Resposta

As raízes de f(x) são -3, 5, raiz2 e -raiz2.

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