Encontre as raízes quadradas do número complexo 1+i.

Passo 1

O exercício pede para encontrar as raízes quadradas do número complexo 1+i. O conteúdo envolvido é formas trigonométricas (ou polares) de números complexos e a fórmula para raízes n-ésimas: zk = raiz[n]r,e^i(theta+2kpi)/n. Vamos precisar converter 1+i para forma polar, determinar seu módulo r e argumento theta, aplicar a fórmula para n=2 e depois voltar, se quisermos, para a forma algébrica.

Passo 2

Primeiro encontramos o módulo r e o argumento theta de 1+i. O módulo é
r = |1+i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Como Re(1+i)=1>0 e Im(1+i)=1>0, o argumento principal é
theta = arctan!l(tfrac11r) = tfracpi4

Passo 3

Usamos a fórmula das raízes quadradas (caso n=2):
zk = raizr,e^i(theta + 2kpi)/2, k=0,1
Aqui raizr = raizraiz2 = 2^1/4. Os ângulos ficam
tfractheta2 = tfracpi8, tfractheta + 2pi2 = tfracpi/4 + 2pi2 = tfrac9pi8

Passo 4

Portanto as duas raízes quadradas são
z0 = 2^1/4e^ipi/8,
z1 = 2^1/4e^i9pi/8
Se quisermos na forma algébrica, basta usar
costfracpi8=raiz2+raiz22, sintfracpi8=raiz2-raiz22
e multiplicar por 2^1/4.

Resposta

As raízes quadradas de 1+i são
2^1/4e^ipi/8e2^1/4e^i9pi/8

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