Seja f(x, y)=x^2+y^2-3 x y^2
a) Determine os pontos críticos de f e os classifique.
b) Determine o máximo e o mínimo absolutos de f no conjunto
D=(x, y) ; x^2+y^2 <= 1

Passo 1

Neste exercício vamos analisar a função de duas variáveis f(x,y)=x^2+y^2-3xy^2. A primeira parte (a) pede para encontrar e classificar os pontos críticos usando gradiente e Hessiana. A segunda parte (b) pede os extremos absolutos de f no disco D=(x,y):x^2+y^2<=1, para o qual vamos usar a avaliação nos críticos internos e a parametrização da fronteira.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: fx=2x-3y^2 e fy=2y-6xy. Igualando a zero, obtemos o sistema
2x-3y^2=0,
2y(1-3x)=0
Daí surgem as soluções:
  • Se y=0, então x=0 → ponto crítico (0,0).
  • Se 1-3x=0, então x=1/3 e substituindo em 2x-3y^2=0 y=pmraiz2/3 → pontos críticos (1/3,pmraiz2/3).

Passo 3

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
fxx=2, fyy=2-6x, fxy=fyx=-6y
No ponto (0,0): fxx=2, fyy=2, D=fxxfyy-fxy^2=4>0 e fxx>0 → mínimo local.
Nos pontos (1/3,pmraiz2/3): fxx=2, fyy=0, fxy=mp2raiz2, então D=2cdot0-(2raiz2)^2<0 → pontos de sela.

Passo 4

Verificamos que todos os pontos críticos estão dentro de D (pois x^2+y^2=1/3<1). Avaliamos:
f(0,0)=0,
fl(1/3,pmraiz2/3r)=tfrac19

Passo 5

Na fronteira x^2+y^2=1 usamos x=cos t, y=sin t. Definimos
g(t)=f(cos t,sin t)=1-3cos tsin^2 t
Derivando,
g'(t)=3sin tl(sin^2 t-2cos^2 tr)=0
sin t=0 ou tan^2t=2.

Passo 6

Avaliaremos os casos:
  1. sin t=0 t=0,pi f=1.
  2. tan^2t=2 sin^2t=2/3, cos^2t=1/3. Então
f=1-3cos tcdottfrac23=1-2cos t
Para cos t=+1/raiz3 obtemos f=1-2/raiz3 e para cos t=-1/raiz3 obtemos f=1+2/raiz3.

Passo 7

Comparando todos os valores: interiores (0, 1/9), fronteira ( 1,,1-2/raiz3,,1+2/raiz3), concluímos que no disco o mínimo absoluto é
fmin=1-2raiz3em (x,y)=l(tfrac1raiz3,pmtfracraiz2raiz3r)
e o máximo absoluto é
fmax=1+2raiz3em (x,y)=l(-tfrac1raiz3,pmtfracraiz2raiz3r)

Resposta

Pontos críticos: (0,0) mínimo local; (1/3, ±√2/3) pontos de sela. No disco D, mínimo absoluto f_min = 1–2/√3 em (1/√3, ±√(2/3)) e máximo absoluto f_max = 1+2/√3 em (–1/√3, ±√(2/3)).

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