Seja
a) Determine os pontos críticos de
e os classifique.
b) Determine o máximo e o mínimo absolutos de f no conjunto
a) Determine os pontos críticos de
b) Determine o máximo e o mínimo absolutos de f no conjunto
Passo 1
Neste exercício vamos analisar a função de duas variáveis
. A primeira parte (a) pede para encontrar e classificar os pontos críticos usando gradiente e Hessiana. A segunda parte (b) pede os extremos absolutos de
no disco
, para o qual vamos usar a avaliação nos críticos internos e a parametrização da fronteira.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
e
. Igualando a zero, obtemos o sistema
Daí surgem as soluções:
- Se
, então → ponto crítico . - Se
, então e substituindo em dá → pontos críticos .
Passo 3
Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
No ponto
:
,
,
e
→ mínimo local.
Nos pontos :
,
,
, então
→ pontos de sela.
Nos pontos
Passo 4
Verificamos que todos os pontos críticos estão dentro de
(pois
). Avaliamos:
Passo 5
Na fronteira
usamos
,
. Definimos
Derivando,
⇒
ou
.
Passo 6
Avaliaremos os casos:
-
→ dá . -
⇒ , . Então
Para
obtemos
e para
obtemos
.
Passo 7
Comparando todos os valores: interiores (0,
), fronteira (
), concluímos que no disco o mínimo absoluto é
e o máximo absoluto é
Resposta
Pontos críticos: (0,0) mínimo local; (1/3, ±√2/3) pontos de sela. No disco D, mínimo absoluto f_min = 1–2/√3 em (1/√3, ±√(2/3)) e máximo absoluto f_max = 1+2/√3 em (–1/√3, ±√(2/3)).