Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
f(x)=x^{3}-3 x^{2}+x-2;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função polinomial f(x)=x^{3}-3x^{2}+x-2.
Informações dadas:
  • É um polinômio cúbico de coeficientes reais.
  • Queremos todas as raízes reais (se houver uma ou mais).

Passo 2

Primeira ideia prática (método direto que se usa em prova): testar raízes racionais simples usando a regra dos divisores do termo constante (Teorema das Raízes Racionais). Essa regra diz que, se existir uma raiz racional na forma \dfrac{p}{q} com p divisor de -2 e q divisor de 1, então as possibilidades inteiras são \pm1,\pm2.
Vou testar essas opções substituindo na função:
\begin{aligned} f(1)&=1-3+1-2=-3,\\\ f(-1)&=-1-3-1-2=-7,\\\ f(2)&=8-12+2-2=-4,\\\ f(-2)&=-8-12-2-2=-24. \end{aligned}
Nenhuma dessas é zero, logo não há raízes racionais inteiras dentre \pm1,\pm2. Isso indica que a(s) raiz(es) real(is) provavelmente é(são) irracional(is) (ou então múltiplas complexas), então usamos um método algébrico geral para cúbicas (Cardano) ou um método numérico. Vou usar Cardano porque nos dá a expressão exata em radicais e também permite concluir quantas raízes reais existem.

Passo 3

Para aplicar Cardano, primeiro elimina-se o termo quadrático usando uma mudança de variável do tipo x=y+\alpha. Para um cúbico x^{3}+ax^{2}+bx+c escolhe-se \alpha=-\dfrac{a}{3}. Aqui a=-3, então
\alpha=-\dfrac{-3}{3}=1.
Faço a substituição
x=y+1.
Substituo em f(x) e desenvolvo:
\begin{aligned} f(y+1)&=(y+1)^{3}-3(y+1)^{2}+(y+1)-2\\\ &=y^{3}+3y^{2}+3y+1-3(y^{2}+2y+1)+y+1-2\\\ &=y^{3}+(3y^{2}-3y^{2})+(3y-6y+y)+(1-3+1-2)\\\ &=y^{3}-2y-3. \end{aligned}
Portanto a equação f(x)=0 é equivalente a
y^{3}-2y-3=0.
Agora temos a cúbica deprimida (sem termo quadrático) da forma
y^{3}+py+q=0,
onde, comparando, p=-2 e q=-3.

Passo 4

Aplico a fórmula de Cardano para a cúbica deprimida y^{3}+py+q=0. A construção padrão é definir o discriminante
\Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}.
Se \Delta>0 a equação tem uma raiz real e duas complexas conjugadas; se \Delta=0 há raízes reais múltiplas; se \Delta<0 há três raízes reais distintas expressáveis por cossenos (caso tridimensional). Vamos calcular \Delta aqui:
\begin{aligned} \left(\frac{q}{2}\right)^{2}&=\left(\frac{-3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4},\\[4pt] \left(\frac{p}{3}\right)^{3}&=\left(\frac{-2}{3}\right)^{3}=-\frac{8}{27}. \end{aligned}
Somando,
\Delta=\frac{9}{4}-\frac{8}{27}=\frac{243-32}{108}=\frac{211}{108}.
Como \Delta=\dfrac{211}{108}>0, concluímos que existe exatamente uma raiz real (as outras duas são complexas conjugadas).]

Passo 5

Com \Delta>0, a fórmula de Cardano fornece a raiz real da cúbica deprimida como
y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta}}.
Aqui -\dfrac{q}{2}=-\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{2}. Logo
\begin{aligned} u^{3}&=\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{211}{108}},\\[4pt] v^{3}&=\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{211}{108}}, \end{aligned}
e
y=\sqrt[3]{\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{211}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{211}{108}}}.
Voltando para x usando x=y+1, a raiz real de f(x) é
x=1+\sqrt[3]{\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{211}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{211}{108}}}.
Isto é a expressão exata (em radicais) da única raiz real.]

Passo 6

Agora faço uma avaliação numérica para obter um valor prático (útil na prova quando pedirem aproximação). Primeiro calculo numericamente \sqrt{\dfrac{211}{108}}. Aproximação:
\sqrt{\frac{211}{108}}\approx1,39704\quad(\text{aprox.}).
Então
\frac{3}{2}+\sqrt{\frac{211}{108}}\approx1,5+1,39704=2,89704,
\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{211}{108}}\approx1,5-1,39704=0,10296.
Extraindo as raízes cúbicas:
\sqrt[3]{2,89704}\approx1,42400,\qquad \sqrt[3]{0,10296}\approx0,46928.
Somando e adicionando 1:
x\approx1+1,42400+0,46928\approx2,89328.
Para verificar, calcula-se f(2,89328) e confirma-se que é praticamente zero (valores computados mostram resto muito próximo de zero). Portanto a raiz real, com boa aproximação, é x\approx2,89328.

Passo 7

Conclusão pedagógica e dica de prova: ao enfrentar um cúbico em prova, sempre teste raízes racionais simples primeiro. Se não aparecerem, passe para a redução da cúbica (substituição para eliminar o termo quadrático) e aplique Cardano; verifique o sinal do discriminante para saber se haverá 1 ou 3 raízes reais. Se a expressão exata em radicais for suficiente, entregue-a; se pedirem aproximação, use uma iteração de Newton ou calcule numericamente os radicais como fiz acima.

Resposta

x=1+\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}+\sqrt{\dfrac{211}{108}}}+\sqrt[3]{\dfrac{3}{2}-\sqrt{\dfrac{211}{108}}}\approx2,89328

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