Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede: encontrar as raízes reais dessa função (ou seja, os valores de
para os quais
).
Informações relevantes dadas:
- É um polinômio de grau
(terceiro grau). - O termo independente (constante) é
.
O que precisamos encontrar:
- Todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
Estratégia prática (explicação didática): para polinômios com coeficientes inteiros, uma técnica eficiente é tentar divisores inteiros do termo constante como raízes possíveis (teorema das raízes racionais). Aqui os divisores de
são
e
. Vamos testar esses candidatos substituindo na função. Primeiro testamos
.
Calcular
:
Fazendo as contas em ordem:
Portanto
. Isso indica que
é uma raiz.
Breve explicação do que isso significa: se
então
é um fator do polinômio. Assim sabemos que
divide
.
Passo 3
Agora vamos dividir
por
para obter o quociente (que será um polinômio de grau
). Uma forma rápida é usar a divisão sintética com os coeficientes do polinômio.
Coeficientes de
:
. Aplicando divisão sintética por
(valor
):
- Escreve-se a primeira entrada
(trazemos o para baixo). - Multiplica-se esse
por (o número da divisão), obtendo ; soma-se com o segundo coeficiente e obtém-se . - Multiplica-se
por , obtém-se ; soma-se com o terceiro coeficiente e obtém-se . - Multiplica-se
por , obtém-se ; soma-se com o quarto coeficiente e obtém-se (resto nulo, como esperado).
O resultado da divisão sintética fornece os coeficientes do quociente quadrático:
, isto é, o quociente é
Logo podemos escrever
Passo 4
Agora fatoramos o polinômio quadrático
. Para fatorar sem calculadora, procuramos dois números que multiplicam para
(termo constante) e somam para
(coeficiente de
). Esses números são
e
, pois
Portanto
Substituindo no fatorado anterior:
Passo 5
Interpretação dos fatores: a fatoração mostra que
e
são raízes reais. Observe que o fator
aparece duas vezes, então
é uma raiz de multiplicidade
(também chamada de raiz dupla). Já
aparece uma vez, logo é raiz simples (multiplicidade
).
Explicação sobre multiplicidade (didática): se um polinômio tem fator
então diz-se que
é raiz de multiplicidade
. Geometricamente, para multiplicidade par (como
) a curva tende a tocar o eixo
em
e voltar sem cruzá-lo; para multiplicidade ímpar a curva cruza o eixo. Também, se a multiplicidade é pelo menos
, a derivada do polinômio em
é zero. Vamos checar rapidamente a derivada para confirmar o caráter duplo de
.
Calcula-se a derivada
Avalia-se em
:
o que confirma que
é raiz de multiplicidade maior que
. Avaliando em
:
confirmando que
é raiz simples.
Passo 6
Verificação final substituindo as raízes na função:
Tudo consistente.