Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
f(x)=x^{3}-4 x^{2}+5 x-2;

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial
f(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2
e pede: encontrar as raízes reais dessa função (ou seja, os valores de x para os quais f(x)=0).
Informações relevantes dadas:
  • É um polinômio de grau 3 (terceiro grau).
  • O termo independente (constante) é -2.
O que precisamos encontrar:
  • Todos os valores reais de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Estratégia prática (explicação didática): para polinômios com coeficientes inteiros, uma técnica eficiente é tentar divisores inteiros do termo constante como raízes possíveis (teorema das raízes racionais). Aqui os divisores de -2 são \pm1 e \pm2. Vamos testar esses candidatos substituindo na função. Primeiro testamos x=1.
Calcular f(1):
f(1)=1^{3}-4\cdot1^{2}+5\cdot1-2=1-4+5-2.
Fazendo as contas em ordem:
1-4=-3,\qquad -3+5=2,\qquad 2-2=0.
Portanto \,f(1)=0. Isso indica que x=1 é uma raiz.
Breve explicação do que isso significa: se f(a)=0 então (x-a) é um fator do polinômio. Assim sabemos que (x-1) divide f(x).

Passo 3

Agora vamos dividir f(x) por (x-1) para obter o quociente (que será um polinômio de grau 2). Uma forma rápida é usar a divisão sintética com os coeficientes do polinômio.
Coeficientes de f(x): 1,\\\ -4,\\\ 5,\\\ -2. Aplicando divisão sintética por x-1 (valor 1):
  • Escreve-se a primeira entrada 1 (trazemos o 1 para baixo).
  • Multiplica-se esse 1 por 1 (o número da divisão), obtendo 1; soma-se com o segundo coeficiente -4 e obtém-se -3.
  • Multiplica-se -3 por 1, obtém-se -3; soma-se com o terceiro coeficiente 5 e obtém-se 2.
  • Multiplica-se 2 por 1, obtém-se 2; soma-se com o quarto coeficiente -2 e obtém-se 0 (resto nulo, como esperado).
O resultado da divisão sintética fornece os coeficientes do quociente quadrático: 1,\\\ -3,\\\ 2, isto é, o quociente é
x^{2}-3x+2.
Logo podemos escrever
f(x)=(x-1)\bigl(x^{2}-3x+2\bigr).

Passo 4

Agora fatoramos o polinômio quadrático \,x^{2}-3x+2. Para fatorar sem calculadora, procuramos dois números que multiplicam para 2 (termo constante) e somam para -3 (coeficiente de x). Esses números são -1 e -2, pois
(-1)\cdot(-2)=2,\qquad (-1)+(-2)=-3.
Portanto
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Substituindo no fatorado anterior:
f(x)=(x-1)\bigl(x^{2}-3x+2\bigr)=(x-1)(x-1)(x-2).

Passo 5

Interpretação dos fatores: a fatoração mostra que x=1 e x=2 são raízes reais. Observe que o fator (x-1) aparece duas vezes, então x=1 é uma raiz de multiplicidade 2 (também chamada de raiz dupla). Já x=2 aparece uma vez, logo é raiz simples (multiplicidade 1).
Explicação sobre multiplicidade (didática): se um polinômio tem fator (x-a)^m então diz-se que a é raiz de multiplicidade m. Geometricamente, para multiplicidade par (como 2) a curva tende a tocar o eixo x em a e voltar sem cruzá-lo; para multiplicidade ímpar a curva cruza o eixo. Também, se a multiplicidade é pelo menos 2, a derivada do polinômio em a é zero. Vamos checar rapidamente a derivada para confirmar o caráter duplo de x=1.
Calcula-se a derivada
f'(x)=3x^{2}-8x+5.
Avalia-se em x=1:
f'(1)=3\cdot1^{2}-8\cdot1+5=3-8+5=0,
o que confirma que x=1 é raiz de multiplicidade maior que 1. Avaliando em x=2:
f'(2)=3\cdot4-8\cdot2+5=12-16+5=1\neq0,
confirmando que x=2 é raiz simples.

Passo 6

Verificação final substituindo as raízes na função:
f(1)=0\quad(\text{já calculado}),\qquad f(2)=2^{3}-4\cdot2^{2}+5\cdot2-2=8-16+10-2=0.á
Tudo consistente.

Resposta

x=1 (multiplicidade 2)
x=2

Exercícios relacionados