Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado dá a função polinomial
e pede: encontrar as raízes reais de
. Informações relevantes que temos:
- É um polinômio de grau
(coeficiente líder ). - Termo constante é
. - Queremos todos os
tais que .
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Teorema do Resto / Teorema do Fator: se
então é fator de . Isso nos permite achar fatores lineares testando valores. - Teorema das raízes racionais (forma prática): para um polinômio com coeficiente líder
, possíveis raízes racionais são divisores do termo constante. Aqui o termo constante é , então os candidatos inteiros possíveis são
Na prova, é rápido testar esses candidatos substituindo em
. Se
, então já sabemos que
é fator e podemos dividir o polinômio por
para reduzir o grau.
Passo 3
Testar os candidatos mais simples:
Calcular :
Calcular
Como
, pelo Teorema do Fator,
é fator de
e
é raiz.
Passo 4
Dividir
por
para obter um polinômio de grau
. Vou fazer a divisão de forma rápida usando a técnica de coeficientes (esquema de Ruffini / divisão sintética). Coeficientes de
:
. Colocando
(a raiz testada) do lado:
- Desço o
. - Multiplico
por e somo a : obtemos . - Multiplico
por e somo a : obtemos . - Multiplico
por e somo a : obtemos (resto).
Logo os coeficientes do quociente (grau
) são
, ou seja o quociente é
Portanto
Passo 5
Agora fatorar o quadrático
. Procuramos dois números que multiplicam
e somam
. Esses números são
e
porque
Assim
Passo 6
Juntando tudo obtemos a fatoração completa:
Pelo Teorema do Fator, as raízes reais são exatamente os valores que anulam cada fator linear:
,
e
. Cada raiz aparece com multiplicidade
(cada fator é distinto).