Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6;

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial
f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6
e pede: encontrar as raízes reais de f. Informações relevantes que temos:
  • É um polinômio de grau 3 (coeficiente líder 1).
  • Termo constante é -6.
  • Queremos todos os x\in\mathbb{R} tais que f(x)=0.

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Teorema do Resto / Teorema do Fator: se f(a)=0 então (x-a) é fator de f(x). Isso nos permite achar fatores lineares testando valores.
  • Teorema das raízes racionais (forma prática): para um polinômio com coeficiente líder 1, possíveis raízes racionais são divisores do termo constante. Aqui o termo constante é -6, então os candidatos inteiros possíveis são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 3,\\ \pm 6.
Na prova, é rápido testar esses candidatos substituindo em f(x). Se f\text{(c)}=0, então já sabemos que x-c é fator e podemos dividir o polinômio por x-c para reduzir o grau.

Passo 3

Testar os candidatos mais simples:
Calcular f(1):
f(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+11\cdot1-6=1-6+11-6=(1-6)+(11-6)=-5+5=0.
Como f(1)=0, pelo Teorema do Fator, (x-1) é fator de f(x) e x=1 é raiz.

Passo 4

Dividir f(x) por (x-1) para obter um polinômio de grau 2. Vou fazer a divisão de forma rápida usando a técnica de coeficientes (esquema de Ruffini / divisão sintética). Coeficientes de f: 1,\\\ -6,\\\ 11,\\\ -6. Colocando 1 (a raiz testada) do lado:
  • Desço o 1.
  • Multiplico 1 por 1 e somo a -6: obtemos -5.
  • Multiplico -5 por 1 e somo a 11: obtemos 6.
  • Multiplico 6 por 1 e somo a -6: obtemos 0 (resto).
Logo os coeficientes do quociente (grau 2) são 1,\\\ -5,\\\ 6, ou seja o quociente é
x^{2}-5x+6.
Portanto
f(x)=(x-1)\bigl(x^{2}-5x+6\bigr).

Passo 5

Agora fatorar o quadrático \;x^{2}-5x+6. Procuramos dois números que multiplicam 6 e somam -5. Esses números são -2 e -3 porque
(-2)\cdot(-3)=6,\qquad (-2)+(-3)=-5.
Assim
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 6

Juntando tudo obtemos a fatoração completa:
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
Pelo Teorema do Fator, as raízes reais são exatamente os valores que anulam cada fator linear: x=1, x=2 e x=3. Cada raiz aparece com multiplicidade 1 (cada fator é distinto).

Resposta

x=1
x=2
x=3

Exercícios relacionados