Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
f(x)=-x^{3}-x^{2}+2 x;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função f(x)=-x^{3}-x^{2}+2x.
Informações dadas (peguei do enunciado):
  • A função é o polinômio cúbico f(x)=-x^{3}-x^{2}+2x.
  • Precisamos achar todos os valores reais de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Estratégia: para achar raízes de um polinômio, é uma boa ideia tentar fatorar. Primeiro passo simples é procurar um fator comum em todos os termos. Vou explicar o que é isso: fator comum significa um número ou expressão que multiplica todos os termos do polinômio; tirando-o fora simplificamos a equação para fatores mais simples que podemos resolver separadamente.
Aplicando isso em f(x): todos os termos têm um fator x em comum, e dá para tirar também um sinal negativo para simplificar. Faço a fatoração isolada em linha:
f(x)=-x^{3}-x^{2}+2x=-x\bigl(x^{2}+x-2\bigr).

Passo 3

Agora utilizamos a propriedade: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Então resolvemos separadamente:
  1. -x=0 dá diretamente
x=0.
  1. x^{2}+x-2=0 é uma equação quadrática. Vou ensinar a maneira padrão de resolver: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) resolve ax^{2}+bx+c=0 pelo
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad \Delta=b^{2}-4ac,
onde a, b e c são os coeficientes da quadrática. Aqui a=1, b=1, c=-2. Calculo o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9.
Como \Delta>0, existem duas raízes reais e distintas. Aplicando a fórmula:
x=\frac{-1\pm\sqrt{9}}{2}=\frac{-1\pm3}{2}.
Isso dá as duas soluções
x=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1, \qquad x=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2.

Passo 4

Como alternativa à fórmula, nota-se que a quadrática x^{2}+x-2 fatoriza de forma simples porque suas raízes são 1 e -2. A fatoração é
x^{2}+x-2=(x-1)(x+2).
Então a fatoração completa do polinômio fica
f(x)=-x(x-1)(x+2),
o que confirma as raízes obtidas nos passos anteriores.

Passo 5

Verificação rápida (substituindo cada raiz em f(x)):
  • Para x=0: f(0)=-0-0+0=0.
  • Para x=1: f(1)=-1-1+2=0.
  • Para x=-2: f(-2)=-(-8)-4+(-4)=8-4-4=0.
Tudo confere: são realmente raízes.

Resposta

x=-2
x=0
x=1

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