Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função
.
Informações dadas (peguei do enunciado):
Informações dadas (peguei do enunciado):
- A função é o polinômio cúbico
. - Precisamos achar todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
Estratégia: para achar raízes de um polinômio, é uma boa ideia tentar fatorar. Primeiro passo simples é procurar um fator comum em todos os termos. Vou explicar o que é isso: fator comum significa um número ou expressão que multiplica todos os termos do polinômio; tirando-o fora simplificamos a equação para fatores mais simples que podemos resolver separadamente.
Aplicando isso em
: todos os termos têm um fator
em comum, e dá para tirar também um sinal negativo para simplificar. Faço a fatoração isolada em linha:
Passo 3
Agora utilizamos a propriedade: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero. Então resolvemos separadamente:
-
dá diretamente
-
é uma equação quadrática. Vou ensinar a maneira padrão de resolver: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) resolve pelo
onde
,
e
são os coeficientes da quadrática. Aqui
,
,
. Calculo o discriminante:
Como
, existem duas raízes reais e distintas. Aplicando a fórmula:
Isso dá as duas soluções
Passo 4
Como alternativa à fórmula, nota-se que a quadrática
fatoriza de forma simples porque suas raízes são
e
. A fatoração é
Então a fatoração completa do polinômio fica
o que confirma as raízes obtidas nos passos anteriores.
Passo 5
Verificação rápida (substituindo cada raiz em
):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Tudo confere: são realmente raízes.