Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função polinomial
.
Informações dadas:
- Coeficiente do termo quadrático:
. - Coeficiente do termo linear:
. - Termo independente:
. - Pergunta: quais são as raízes reais de
, ou seja, os valores de tais que .
Passo 2
Vamos escolher um método. Para um polinômio quadrático há basicamente três caminhos padrão:
- fatorar diretamente se for fácil;
- usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara);
- completar o quadrado.
Como os coeficientes têm um fator comum (
) e o polinômio interno parece simples, tentar fatorar é a opção mais rápida e menos trabalhosa. Se a fatoração não fosse óbvia, usaríamos a fórmula quadrática. Vou começar pela fatoração e, depois, validar usando a fórmula (para te mostrar as duas abordagens).
Passo 3
Primeiro, tirar o fator comum
para simplificar a expressão. Isso é válido porque
divide todos os termos:
Explicando: ao fatorar pelo número
, estamos escrevendo o polinômio como um produto de
por outro polinômio de grau
. As raízes de
são as mesmas que as raízes de
(exceto que multiplicar por
não cria nem elimina raízes).
Passo 4
Agora fatoramos o quadrático
. Para fatorar um quadrático da forma
procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Aqui
e
. Então buscamos dois números que somem
e multipliquem
.
Os candidatos são
e
, porque:
Portanto
Passo 5
Voltando para
, temos
As raízes são os valores de
que anulam algum dos fatores. Assim resolvemos cada fator igual a zero:
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom checar na hora da prova): calcular
e
.
Ambos dão zero, confirmação de que são raízes.
Passo 7
Validação pela fórmula quadrática (opcional, só para ver outra técnica). A fórmula para as raízes de
é
onde
(discriminante). Aqui
,
,
. Calculando:
Então
Isso dá as duas soluções
que coincidem com o resultado obtido pela fatoração.