Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
f(x)=3 x^{2}-9 x+6;

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função polinomial f(x)=3x^{2}-9x+6.
Informações dadas:
  • Coeficiente do termo quadrático: a=3.
  • Coeficiente do termo linear: b=-9.
  • Termo independente: c=6.
  • Pergunta: quais são as raízes reais de f(x), ou seja, os valores de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Vamos escolher um método. Para um polinômio quadrático há basicamente três caminhos padrão:
  1. fatorar diretamente se for fácil;
  2. usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara);
  3. completar o quadrado.
Como os coeficientes têm um fator comum ( 3) e o polinômio interno parece simples, tentar fatorar é a opção mais rápida e menos trabalhosa. Se a fatoração não fosse óbvia, usaríamos a fórmula quadrática. Vou começar pela fatoração e, depois, validar usando a fórmula (para te mostrar as duas abordagens).

Passo 3

Primeiro, tirar o fator comum 3 para simplificar a expressão. Isso é válido porque 3 divide todos os termos:
f(x)=3x^{2}-9x+6 = 3\bigl(x^{2}-3x+2\bigr).
Explicando: ao fatorar pelo número 3, estamos escrevendo o polinômio como um produto de 3 por outro polinômio de grau 2. As raízes de f são as mesmas que as raízes de x^{2}-3x+2 (exceto que multiplicar por 3 não cria nem elimina raízes).

Passo 4

Agora fatoramos o quadrático x^{2}-3x+2. Para fatorar um quadrático da forma x^{2}+px+q procuramos dois números cuja soma seja p e cujo produto seja q. Aqui p=-3 e q=2. Então buscamos dois números que somem -3 e multipliquem 2.
Os candidatos são -1 e -2, porque:
(-1)+(-2)=-3,\qquad (-1)\cdot(-2)=2.
Portanto
x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2).

Passo 5

Voltando para f(x), temos
f(x)=3\bigl(x-1\bigr)\bigl(x-2\bigr).
As raízes são os valores de x que anulam algum dos fatores. Assim resolvemos cada fator igual a zero:
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1,
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom checar na hora da prova): calcular f(1) e f(2).
f(1)=3\cdot1^{2}-9\cdot1+6=3-9+6=0,
f(2)=3\cdot2^{2}-9\cdot2+6=3\cdot4-18+6=12-18+6=0.
Ambos dão zero, confirmação de que são raízes.

Passo 7

Validação pela fórmula quadrática (opcional, só para ver outra técnica). A fórmula para as raízes de ax^{2}+bx+c=0 é
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac (discriminante). Aqui a=3, b=-9, c=6. Calculando:
\Delta = (-9)^{2}-4\cdot3\cdot6 = 81-72 = 9.
Então
x=\frac{-(-9)\pm\sqrt{9}}{2\cdot3}=\frac{9\pm3}{6}.
Isso dá as duas soluções
x=\frac{9+3}{6}=\frac{12}{6}=2,\qquad x=\frac{9-3}{6}=\frac{6}{6}=1,
que coincidem com o resultado obtido pela fatoração.

Resposta

x=1
x=2

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