Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
f(x)=9-6 x+x^{2};

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função polinomial f(x)=9-6x+x^{2}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=9-6x+x^{2}.
  • Não há outras condições ou restrições.
O que precisa ser devolvido: os valores de x tais que f(x)=0 (ou seja, as raízes reais da equação 9-6x+x^{2}=0).

Passo 2

Identificar o tipo de equação e os coeficientes. Esta é uma equação quadrática (polinômio de grau 2) que pode ser escrita na forma padrão ax^{2}+bx+c. Vamos identificar a, b e c:
a=1,\qquad b=-6,\qquad c=9.
Em uma equação quadrática, as raízes podem ser encontradas por observação (fatoração/completar quadrado) ou pela fórmula quadrática. Vou mostrar as duas formas, começando pela observação que aqui é bem rápida.

Passo 3

Tentar reconhecer se o polinômio é um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito tem a forma (x-k)^{2}=x^{2}-2kx+k^{2}. Comparando com x^{2}-6x+9, igualamos:
-2k=-6 \Rightarrow k=3, \qquad k^{2}=9.
Como ambas as condições batem, podemos escrever:
f(x)=x^{2}-6x+9=(x-3)^{2}.
Quando uma expressão é (x-3)^{2}, as raízes são obtidas resolvendo (x-3)^{2}=0, o que dá x=3. Essa raiz é de multiplicidade 2 (ou seja, é uma raiz dupla).

Passo 4

Agora mostro o método padrão (fórmula quadrática) para confirmar e também para que você saiba usar em casos em que não dá pra fatorar tão fácil.
A fórmula quadrática dá as raízes de ax^{2}+bx+c=0 por
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde a discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicando: a, b e c são os coeficientes do polinômio; \Delta indica a natureza das raízes: se \Delta>0 há duas raízes reais distintas, se \Delta=0 há uma raiz real dupla, se \Delta<0 as raízes são complexas (não reais).
Calcular \Delta para nosso caso:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot9 = 36-36=0.
Como \Delta=0, há uma única raiz real (dupla). Aplicando a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3.
Confirma-se que a única raiz real é x=3.

Passo 5

Verificação rápida por substituição para garantir que não ocorreu erro algébrico:
f(3)=9-6\cdot3+3^{2}=9-18+9=0.
Portanto x=3 realmente zera a função.

Resposta

x=3 (raiz real dupla)

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