Encontre as raízes reais para cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes reais da função polinomial
.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras condições ou restrições.
O que precisa ser devolvido: os valores de
tais que
(ou seja, as raízes reais da equação
).
Passo 2
Identificar o tipo de equação e os coeficientes. Esta é uma equação quadrática (polinômio de grau 2) que pode ser escrita na forma padrão
. Vamos identificar
,
e
:
Em uma equação quadrática, as raízes podem ser encontradas por observação (fatoração/completar quadrado) ou pela fórmula quadrática. Vou mostrar as duas formas, começando pela observação que aqui é bem rápida.
Passo 3
Tentar reconhecer se o polinômio é um quadrado perfeito. Um quadrado perfeito tem a forma
. Comparando com
, igualamos:
Como ambas as condições batem, podemos escrever:
Quando uma expressão é
, as raízes são obtidas resolvendo
, o que dá
. Essa raiz é de multiplicidade 2 (ou seja, é uma raiz dupla).
Passo 4
Agora mostro o método padrão (fórmula quadrática) para confirmar e também para que você saiba usar em casos em que não dá pra fatorar tão fácil.
A fórmula quadrática dá as raízes de
por
onde a discriminante é
Explicando:
,
e
são os coeficientes do polinômio;
indica a natureza das raízes: se
há duas raízes reais distintas, se
há uma raiz real dupla, se
as raízes são complexas (não reais).
Calcular
para nosso caso:
Como
, há uma única raiz real (dupla). Aplicando a fórmula:
Confirma-se que a única raiz real é
.
Passo 5
Verificação rápida por substituição para garantir que não ocorreu erro algébrico:
Portanto
realmente zera a função.