Encontre as raízes reais e complexas dos polinômios dados.
;
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para encontrar as raízes reais e complexas (ou seja, todas as raízes, reais e não reais). Informações relevantes que temos: os coeficientes são
(de
),
(de
),
(de
) e
(termo constante). A equação é um polinômio cúbico de grau
, portanto tem exatamente três raízes no conjunto dos complexos (contando multiplicidade).
Passo 2
Primeira ideia prática (e ótima para prova): testar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. O teorema diz que, se existe uma raiz racional
em forma reduzida, então
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder. Aqui o coeficiente líder é
, então as únicas possíveis raízes racionais inteiras são os divisores de
:
Vou testar esses candidatos; é comum começar pelos pequenos:
.
Passo 3
Avalio o polinômio em
,
,
e
(só preciso achar uma raiz real para poder fatorar):
Portanto
é uma raiz (achei uma raiz real exata). Isso é ótimo porque agora podemos fatorar o polinômio por
.
Passo 4
Para dividir o polinômio por
uso divisão sintética (muito prática em prova). Organizo os coeficientes do polinômio
:
. Faço a divisão sintética com
:
Esquema:
Explicando linha a linha:
- Trago o
(coeficiente de ) para baixo. - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao próximo: . - Multiplico
por e somo ao seguinte: (resto zero, confirma que é fator).
A linha de baixo
são os coeficientes do quociente, isto é, o polinômio quadrático
Assim conseguimos a fatoração
Passo 5
Agora resolvo a equação quadrática
. Para isso uso a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara): se temos
então as soluções são
Aqui
,
,
. Primeiro calculo o discriminante
:
Como
, não existem raízes reais para essa quadrática; teremos duas raízes complexas conjugadas. Escrevo a raiz quadrada de
usando
(onde
):
Aplicando a fórmula:
Assim as duas raízes complexas são
e
. Observação: raízes complexas de coeficientes reais aparecem em pares conjugados, e é isso que ocorreu aqui.
Passo 6
Juntando tudo: achamos uma raiz real
e as duas raízes complexas da quadrática. Você pode checar rapidamente: multiplicando
volta-se ao polinômio original; e substituir
no original dá zero (já verificamos). Está tudo consistente. Vai lá, anota isso para a prova — é um padrão clássico: procurar raiz racional, dividir e aplicar Bhaskara na quadrática resultante.