Encontre as raízes reais e complexas dos polinômios dados.
x^{3}+x^{2}+x-14=0;

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
x^{3}+x^{2}+x-14=0
e pede para encontrar as raízes reais e complexas (ou seja, todas as raízes, reais e não reais). Informações relevantes que temos: os coeficientes são 1 (de x^{3}), 1 (de x^{2}), 1 (de x) e -14 (termo constante). A equação é um polinômio cúbico de grau 3, portanto tem exatamente três raízes no conjunto dos complexos (contando multiplicidade).

Passo 2

Primeira ideia prática (e ótima para prova): testar raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. O teorema diz que, se existe uma raiz racional \frac{p}{q} em forma reduzida, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder. Aqui o coeficiente líder é 1, então as únicas possíveis raízes racionais inteiras são os divisores de -14:
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 7,\\ \pm 14.
Vou testar esses candidatos; é comum começar pelos pequenos: 1,-1,2,-2.

Passo 3

Avalio o polinômio em x=1, x=-1, x=2 e x=-2 (só preciso achar uma raiz real para poder fatorar):
f(1)=1^{3}+1^{2}+1-14=1+1+1-14=-11\neq 0,
f(-1)=(-1)^{3}+(-1)^{2}+(-1)-14=-1+1-1-14=-15\neq 0,
f(2)=2^{3}+2^{2}+2-14=8+4+2-14=0.
Portanto x=2 é uma raiz (achei uma raiz real exata). Isso é ótimo porque agora podemos fatorar o polinômio por (x-2).

Passo 4

Para dividir o polinômio por (x-2) uso divisão sintética (muito prática em prova). Organizo os coeficientes do polinômio x^{3}+x^{2}+x-14: 1,\;1,\;1,\;-14. Faço a divisão sintética com 2:
Esquema:
\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & 1 & 1 & -14\\hline & & 2 & 6 & 14\\\ & 1 & 3 & 7 & 0 \end{array}
Explicando linha a linha:
  • Trago o 1 (coeficiente de x^3) para baixo.
  • Multiplico 2 por 1 e somo ao próximo coeficiente: 1+2=3.
  • Multiplico 2 por 3 e somo ao próximo: 1+6=7.
  • Multiplico 2 por 7 e somo ao seguinte: -14+14=0 (resto zero, confirma que x-2 é fator).
A linha de baixo 1,\;3,\;7 são os coeficientes do quociente, isto é, o polinômio quadrático
x^{2}+3x+7.
Assim conseguimos a fatoração
x^{3}+x^{2}+x-14=(x-2)\bigl(x^{2}+3x+7\bigr).

Passo 5

Agora resolvo a equação quadrática \;x^{2}+3x+7=0\;. Para isso uso a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara): se temos \;ax^{2}+bx+c=0\; então as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=3, c=7. Primeiro calculo o discriminante \Delta:
\Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot 1\cdot 7=9-28=-19.
Como \Delta<0, não existem raízes reais para essa quadrática; teremos duas raízes complexas conjugadas. Escrevo a raiz quadrada de \Delta usando i (onde i^{2}=-1):
\sqrt{\Delta}=\sqrt{-19}=i\sqrt{19}.
Aplicando a fórmula:
x=\frac{-3\pm i\sqrt{19}}{2}.
Assim as duas raízes complexas são \dfrac{-3+i\sqrt{19}}{2} e \dfrac{-3-i\sqrt{19}}{2}. Observação: raízes complexas de coeficientes reais aparecem em pares conjugados, e é isso que ocorreu aqui.

Passo 6

Juntando tudo: achamos uma raiz real x=2 e as duas raízes complexas da quadrática. Você pode checar rapidamente: multiplicando (x-2)(x^{2}+3x+7) volta-se ao polinômio original; e substituir x=2 no original dá zero (já verificamos). Está tudo consistente. Vai lá, anota isso para a prova — é um padrão clássico: procurar raiz racional, dividir e aplicar Bhaskara na quadrática resultante.

Resposta

2
\dfrac{-3+i\sqrt{19}}{2}
\dfrac{-3-i\sqrt{19}}{2}

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