Determinar a \in \mathbb{R} de modo que a divisão de p(x)=x^{4}-2 a x^{3}+(a+ 2) x^{2}+3 a+1 por q(x)=x-2 seja igual a 7 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar \,a\in\mathbb{R}\, tal que a divisão do polinômio
p(x)=x^{4}-2a x^{3}+(a+2)x^{2}+3a+1
por
q(x)=x-2
tenha resto igual a 7.\n
Informações dadas:
  • O polinômio dividendo é p(x) (grau 4) conforme acima.\n
  • O divisor é q(x)=x-2 (grau 1).\n
  • A condição imposta é que o resto dessa divisão seja 7.\n

Passo 2

Conceito útil (Teorema do Resto) e por que usaremos ele:\n
Quando dividimos um polinômio p(x) por um polinômio linear x-c, a forma da divisão é
p(x)=(x-c)Q(x)+R,
onde Q(x) é o quociente e R é o resto. Como o divisor tem grau 1, o resto é uma constante (não depende de x). Se avaliarmos essa identidade em x=c, o termo (x-c)Q(x) some e sobra
p\text{(c)}=R.
Ou seja: o resto da divisão de p(x) por x-c é exatamente p\text{(c)}.\n
No nosso caso, o divisor é x-2. Portanto o resto da divisão de p(x) por x-2 é p(2). Para que o resto seja 7 basta exigir p(2)=7. Essa é a ideia central que vamos aplicar.

Passo 3

Calcular p(2) substituindo x=2 em cada termo de p(x). Vou escrever termo a termo e simplificar devagarinho.\n
Primeiro, cada potência de 2:
2^{4}=16,\qquad 2^{3}=8,\qquad 2^{2}=4.
Agora substituindo em p(x):
p(2)=2^{4}-2a\cdot 2^{3}+(a+2)2^{2}+3a+1.
Colocando os valores numéricos das potências:
p(2)=16-2a\cdot 8+(a+2)\cdot 4+3a+1.
Calcule cada produto:
-2a\cdot 8 = -16a,
(a+2)\cdot 4 = 4a+8.
Substituindo esses resultados:
p(2)=16 -16a + (4a+8) + 3a + 1.
Agrupando os termos semelhantes (coeficientes de a e constantes):
  • Coeficientes de a: -16a + 4a + 3a = (-16+4+3)a = -9a.\n
  • Constantes: 16 + 8 + 1 = 25.\n
    Portanto
p(2) = -9a + 25.

Passo 4

Usar a condição do enunciado: o resto da divisão (que é p(2) pelo Teorema do Resto) deve ser igual a 7. Logo impomos
p(2)=7.
Substituindo a expressão encontrada para p(2) temos:
-9a + 25 = 7.
Isolando os termos que envolvem a:
-9a = 7 - 25.
Calculando o lado direito:
-9a = -18.

Passo 5

Agora resolvemos para a dividindo ambos os lados da igualdade por -9:
a = \dfrac{-18}{-9}.

Resposta

a=2

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