Encontre as raízes das seguintes funções:
(d) f(x)=x^{3}+x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as raízes da função f dada por
f(x)=x^{3}+x.
Informações dadas:
  • A função é o polinômio f(x)=x^{3}+x.
  • O que se pede: todos os valores de x tais que f(x)=0 (as raízes/zeros da função).
    Nada mais foi fornecido; portanto vamos resolver a equação x^{3}+x=0.

Passo 2

Primeiro passo algébrico útil: fatorar o polinômio destacando o fator comum. Sempre que todos os termos têm um fator comum, é conveniente colocá-lo em evidência. Aqui os termos são x^{3} e x; ambos têm x em comum. Então:
x^{3}+x = x\cdot x^{2} + x\cdot 1 = x\,(x^{2}+1).
Essa fatoração simplifica muito a busca pelas raízes.

Passo 3

Agora imponho f(x)=0. Com a fatoração:
f(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\,(x^{2}+1)=0.
Aplicando a propriedade do produto nulo (se um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero), temos duas equações mais simples para resolver:
x=0 \qquad\text{ou}\qquad x^{2}+1=0.

Passo 4

Resolver a primeira equação é direto:
x=0
é uma raiz da função. É uma solução real; observe que o fator x aparece apenas com expoente 1, logo a multiplicidade dessa raiz é 1.

Passo 5

Agora resolver a segunda equação:
x^{2}+1=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}=-1.
Nenhum número real satisfa z x^{2}=-1, porque quadrados reais são não negativos. Para obter soluções precisamos introduzir os números complexos: define-se a unidade imaginária \mathrm{i} tal que \mathrm{i}^{2}=-1. Assim as soluções da equação quadrática são
x=\pm\mathrm{i},
isto é, x=\mathrm{i} e x=-\mathrm{i}.

Passo 6

Portanto, todas as raízes (incluindo as complexas) são x=0, x=\mathrm{i} e x=-\mathrm{i}. Como verificação rápida, podemos escrever a fatoração completa em fatores lineares sobre os complexos:
f(x)=x\,(x^{2}+1)=x\,(x-\mathrm{i})(x+\mathrm{i}),
e conferir que (x-\mathrm{i})(x+\mathrm{i})=x^{2}+1, que multiplicado por x retorna o polinômio original.

Passo 7

Verificação por substituição (cheirinho de segurança):
  • Para x=0: f(0)=0^{3}+0=0.
  • Para x=\mathrm{i}: f(\mathrm{i})=\mathrm{i}^{3}+\mathrm{i}=(\mathrm{i}^{2}\cdot\mathrm{i})+\mathrm{i}=(-1)\cdot\mathrm{i}+\mathrm{i}=0.
  • Para x=-\mathrm{i}: análogo, dá 0.
    Tudo bate certinho.

Resposta

x=0
x=\mathrm{i}
x=-\mathrm{i}

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