Encontre as raízes das seguintes funções:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as raízes da função
dada por
Informações dadas:
- A função é o polinômio
. - O que se pede: todos os valores de
tais que (as raízes/zeros da função).
Nada mais foi fornecido; portanto vamos resolver a equação.
Passo 2
Primeiro passo algébrico útil: fatorar o polinômio destacando o fator comum. Sempre que todos os termos têm um fator comum, é conveniente colocá-lo em evidência. Aqui os termos são
e
; ambos têm
em comum. Então:
Essa fatoração simplifica muito a busca pelas raízes.
Passo 3
Agora imponho
. Com a fatoração:
Aplicando a propriedade do produto nulo (se um produto é zero, pelo menos um dos fatores é zero), temos duas equações mais simples para resolver:
Passo 4
Resolver a primeira equação é direto:
é uma raiz da função. É uma solução real; observe que o fator
aparece apenas com expoente
, logo a multiplicidade dessa raiz é
.
Passo 5
Agora resolver a segunda equação:
Nenhum número real satisfa z
, porque quadrados reais são não negativos. Para obter soluções precisamos introduzir os números complexos: define-se a unidade imaginária
tal que
. Assim as soluções da equação quadrática são
isto é,
e
.
Passo 6
Portanto, todas as raízes (incluindo as complexas) são
,
e
. Como verificação rápida, podemos escrever a fatoração completa em fatores lineares sobre os complexos:
e conferir que
, que multiplicado por
retorna o polinômio original.
Passo 7
Verificação por substituição (cheirinho de segurança):
- Para
: . - Para
: . - Para
: análogo, dá .
Tudo bate certinho.