Encontre as raízes, o vértice e o corte no eixo y das parábolas; reescreva as expressões na forma fatorada e canônica; faça um esboço do gráfico.
f(x)=3 x^2+9 x

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x)=3x^2+9x
e pede:
– as raízes (zeros) da parábola;
– o vértice;
– o corte no eixo y;
– reescrever em forma fatorada e canônica;
– esboçar o gráfico.
Para isso vamos usar fatoração de polinômio, fórmula do vértice l(xv=-tfracb2ar) e transformação para a forma de vértice.

Passo 2

Para achar as raízes resolvemos
3x^2+9x=0
fatorando 3x:
3x(x+3)=0
Assim as soluções são
x=0 e x=-3

Passo 3

O corte no eixo y ocorre em x=0. Basta avaliar
f(0)=3cdot0^2+9cdot0=0
Logo o ponto de interseção com o eixo y é (0,0).

Passo 4

O vértice tem abscissa
xv=-b2a=-92cdot3=-32
Para a ordenada calculamos
yv=fl(-tfrac32r) =3l(-tfrac32r)^2 +9l(-tfrac32r) =3cdottfrac94-tfrac272 =tfrac274-tfrac544 =-tfrac274
Portanto o vértice é l(-tfrac32,-tfrac274r).

Passo 5

Forma fatorada: já vimos
f(x)=3x(x+3)
Para a forma canônica (de vértice) escrevemos
f(x)=3l(x+tfrac32r)^2-tfrac274,
pois expandindo essa expressão volta-se a 3x^2+9x.

Passo 6

Esboço do gráfico:
– Par^abola de concavidade para cima ( ).
– Cruzamentos em e .
– V’ertice em .
– Eixo de simetria .
Um esbo’co ASCII aproximado:
     f(x)
       \uparrow
   \(0\)   |      *        *   \leftarrow \text{zeros em } x = -3 \text{ e } x = 0
       |      |        |
  -\(6,75\) \bullet      \downarrow        |
      (-\(1,5\))  |        |
       |______|________|______\to x
            -\(3\)  -\(1,50\)

Resposta

Raízes: x=-3 e x=0.
Vértice: l(-tfrac32,-tfrac274r).
Corte no eixo y: (0,0).
Forma fatorada: f(x)=3x(x+3).
Forma canônica: f(x)=3l(x+tfrac32r)^2-tfrac274.

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