Temos
,
, calcule o módulo de
Passo 1
Resumo do Enunciado: Temos a função $ f(z) = z^{1 - i} $, onde $ z = r e^{i \theta} $, com $ r > 0 $ e $ -\pi < \theta \leq \pi $. Precisamos calcular o módulo da derivada de $ f $ no ponto $ z = 1 - i $. Para resolver, vamos utilizar conceitos de funções complexas, derivadas e módulos de números complexos.
Passo 2
Encontrando a Derivada de $ f(z) $:
A função dada é $ f(z) = z^{1 - i} $. Sabemos que, para uma função da forma $ f(z) = z^a $, onde $ a $ é um número complexo, a derivada é dada por:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 3
Substituindo $ z = 1 - i $ na Derivada:
Vamos calcular $ f’(1 - i) $:
Passo 4
Calculando o Módulo de $ f’(1 - i) $:
O módulo de um produto de números complexos é igual ao produto dos módulos. Assim:
Passo 5
Calculando $ |1 - i| $:
Para um número complexo $ z = a + b i $, o módulo é:
Aplicando:
Passo 6
Calculando $ |(1 - i)^{-i}| $:
Primeiro, representamos $ 1 - i $ na forma polar:
Então,
Portanto, o módulo é:
Passo 7
Calculando o Módulo Final de $ f’(1 - i) $:
Multiplicando os módulos encontrados:
Resposta
O módulo de $ f’(1 - i) $ é $ 2\sqrt{2} \cdot e^{\frac{\pi}{4}} $.