Temos z=re^i theta, r>0 e-pi,
f(z)=z^1-i, calcule o módulo de f^prime(1-i)

Passo 1

Resumo do Enunciado: Temos a função $ f(z) = z^{1 - i} $, onde $ z = r e^{i \theta} $, com $ r > 0 $ e $ -\pi < \theta \leq \pi $. Precisamos calcular o módulo da derivada de $ f $ no ponto $ z = 1 - i $. Para resolver, vamos utilizar conceitos de funções complexas, derivadas e módulos de números complexos.

Passo 2

Encontrando a Derivada de $ f(z) $:
A função dada é $ f(z) = z^{1 - i} $. Sabemos que, para uma função da forma $ f(z) = z^a $, onde $ a $ é um número complexo, a derivada é dada por:
f(z)
Aplicando isso à nossa função:
f(z) = z^1 - i

Passo 3

Substituindo $ z = 1 - i $ na Derivada:
Vamos calcular $ f’(1 - i) $:
z = 1 - i

Passo 4

Calculando o Módulo de $ f’(1 - i) $:
O módulo de um produto de números complexos é igual ao produto dos módulos. Assim:
f'(1 - i)

Passo 5

Calculando $ |1 - i| $:
Para um número complexo $ z = a + b i $, o módulo é:
|1 - i|
Aplicando:
z = a + b i

Passo 6

Calculando $ |(1 - i)^{-i}| $:
Primeiro, representamos $ 1 - i $ na forma polar:
|(1 - i)^-i|
Então,
1 - i
Portanto, o módulo é:
1 - i = raiz2 cdot e^-i pi4

Passo 7

Calculando o Módulo Final de $ f’(1 - i) $:
Multiplicando os módulos encontrados:
f'(1 - i)

Resposta

O módulo de $ f’(1 - i) $ é $ 2\sqrt{2} \cdot e^{\frac{\pi}{4}} $.

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