A função
definida por
é diferenciável em
? Verifique pela definição.
Passo 1
Temos a função f definida por f(x)=√(x³) e queremos saber se ela é diferenciável em x=0. O conteúdo é diferenciabilidade pelo limite do quociente de diferença e vamos usar a definição de derivada a partir desse limite. Note que √(x³) só é real para x≥0, então o domínio de f é [0,∞).
Passo 2
Para verificar a diferenciabilidade em x=0, aplicamos a definição de derivada nesse ponto. Como f não está definida para h<0, consideramos o limite pela direita:
Passo 3
Substituindo f(x)=x^(3/2) e f(0)=0 na definição, obtemos
[
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0+}\frac{h{3/2}-0}{h}=\lim_{h\to 0+}h{1/2}.
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0+}\frac{h{3/2}-0}{h}=\lim_{h\to 0+}h{1/2}.
Passo 4
O limite
é igual a 0. Como o limite existe e é finito, concluímos que f é diferenciável em x=0 e que f’(0)=0.
Resposta
f é diferenciável em x=0 e f’(0)=0.