A função f definida por
f(x)=raizx^3
é diferenciável em x=0? Verifique pela definição.

Passo 1

Temos a função f definida por f(x)=√(x³) e queremos saber se ela é diferenciável em x=0. O conteúdo é diferenciabilidade pelo limite do quociente de diferença e vamos usar a definição de derivada a partir desse limite. Note que √(x³) só é real para x≥0, então o domínio de f é [0,∞).

Passo 2

Para verificar a diferenciabilidade em x=0, aplicamos a definição de derivada nesse ponto. Como f não está definida para h<0, consideramos o limite pela direita:

Passo 3

Substituindo f(x)=x^(3/2) e f(0)=0 na definição, obtemos
[
\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0+}\frac{h{3/2}-0}{h}=\lim_{h\to 0+}h{1/2}.

Passo 4

O limite limhto0^+h^1/2 é igual a 0. Como o limite existe e é finito, concluímos que f é diferenciável em x=0 e que f’(0)=0.

Resposta

f é diferenciável em x=0 e f’(0)=0.

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