Verifique as condições de Cauchy para a função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar as condições de Cauchy para a função $ f(z) = \frac{\cos \theta}{r} + i \frac{\sin \theta}{r} $, onde $ z = r e^{i \theta} $, $ r > 0 $ e $ -\pi < \theta \leq \pi $. Isso está no contexto de funções de variáveis complexas e análise de derivabilidade. Para resolver, vamos precisar entender as condições de Cauchy-Riemann, que são critérios para uma função ser diferenciável no sentido complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(z) $ em termos das coordenadas cartesianas $ x $ e $ y $, onde $ z = x + i y $. Sabemos que $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $ e $ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) $. Assim, podemos expressar $ \cos \theta $ e $ \sin \theta $ em termos de $ x $ e $ y $:
Substituindo na função:
Então, temos:
onde $ u(x, y) = \frac{x}{x^2 + y^2} $ e $ v(x, y) = \frac{y}{x^2 + y^2} $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ em relação a $ x $ e $ y $:
Passo 4
Agora, vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann, que dizem que para uma função ser diferenciável no sentido complexo, devem ser verdadeiras:
Vamos comparar:
Podemos ver que $ u_x = -v_y $, então a primeira condição não é satisfeita, já que $ u_x $ deveria ser igual a $ v_y $.
Para a segunda condição:
Aqui, $ u_y = -v_x $, o que satisfaz a segunda condição.
Passo 5
Como apenas uma das duas condições de Cauchy-Riemann é satisfeita ($ u_y = -v_x $), podemos concluir que a função $ f(z) $ não satisfaz completamente as condições de Cauchy-Riemann em todo o domínio considerado ($ r > 0 $ e $ -\pi < \theta \leq \pi $).
Resposta
A função $ f(z) = \frac{\cos \theta}{r} + i \frac{\sin \theta}{r} $ não satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em todo o seu domínio.