Encontre as Raízes ou zero das funções polinomiais e escreva de forma fatorada.
P(x)=x^3+6 x^2-x-30

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os zeros da função polinomial
P(x)=x^3+6x^2-x-30
e escrevê-la em forma fatorada. O conteúdo envolvido é o Teorema da Raiz Racional para identificar candidatos a raízes, seguido de divisão polinomial (ou sintética) e fatoração de quadrática.

Passo 2

Pelo Teorema da Raiz Racional, as possíveis raízes de P(x) são os divisores de -30, ou seja
pm1,;pm2,;pm3,;pm5,;pm6,;pm10,;pm15,;pm30
Testando x=2:
P(2)=2^3+6cdot2^2-2-30=8+24-2-30=0,
logo x=2 é raiz de P.

Passo 3

Para dividir por usando divisão sintética, escrevemos os coeficientes e procedemos:
coeficientes:
O resto é zero e o quociente é .

Passo 4

Agora fatoramos o polinômio quadrático
x^2+8x+15
procurando dois números cuja soma seja 8 e o produto 15. Esses números são 3 e 5, portanto
x^2+8x+15=(x+3)(x+5)

Passo 5

Reunindo tudo, temos
P(x)=(x-2)l(x^2+8x+15r)=(x-2)(x+3)(x+5)
As raízes são os valores que anulam cada fator.

Resposta

P(x)=(x-2)(x+3)(x+5) e as raízes são x=2,;-3,;-5.

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