A resposta ao impulso unitário de um sistema LCIT é
h(t)=e^-t u(t)
Determine a resposta do sistema (estado nulo) y(t) se a entrada x(t) for
e^-2 t u(t)

Passo 1

O enunciado dá a resposta ao impulso de um sistema LTI causal
h(t)=e^-tu(t)
e pede a saída y(t) em regime nulo quando a entrada é
x(t)=e^-2tu(t)
Como o sistema é causal e está em estado nulo, vamos usar a convolução para encontrar y(t).

Passo 2

Escrevemos a saída como a convolução
y(t) = (h * x)(t) = integral-infty^infty h(t-tau),x(tau),dtau
Por causa do caráter causal de h e x, os dois existem só para t>=0, então o intervalo efetivo é de tau=0 até tau=t:
y(t) = integral0^t h(t-tau),x(tau),dtau

Passo 3

Substituímos h(t-tau)=e^-(t-tau)u(t-tau) e x(tau)=e^-2tauu(tau). Para t>0 ambos os passos valem 1, logo
y(t) = integral0^t e^-(t-tau),e^-2tau,dtau = integral0^t e^-t+tau-2tau,dtau = integral0^t e^-t-tau,dtau

Passo 4

O fator e^-t não depende de tau, então sai da integral:
y(t) = e^-tintegral0^t e^-tau,dtau
Calculamos a integral simples:
integral0^t e^-tau,dtau = l[-e^-taur]0^t = 1 - e^-t

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
y(t) = e^-tl(1 - e^-tr) = e^-t - e^-2t
E como o sistema é causal, adicionamos u(t) para indicar que vale só para t>=0.

Resposta

y(t)=l(e^-t-e^-2tr),u(t)

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