Encontre as Raízes ou zero das funções polinomiais e escreva de forma fatorada.
f(x)=2 x^3-5 x^2-x+6

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes (zeros) da função polinomial
f(x)=2x^3-5x^2-x+6
e escrevê-la na forma fatorada. O conteúdo que vamos usar inclui o Teorema das Raízes Racionais para polinômios com coeficientes inteiros e a divisão sintética (ou polinomial) para extrair fatores lineares.

Passo 2

Pelos possíveis zeros racionais, temos candidatos
pm1,;pm2,;pm3,;pm6,;pmtfrac12,;pmtfrac32
Testando x=2:
f(2)=2cdot2^3-5cdot2^2-2+6 =16-20-2+6=0
Logo, x=2 é raiz e (x-2) é um fator de f(x).

Passo 3

Usamos divisão sintética para dividir f(x) por (x-2). Coeficientes de f: 2,;-5,;-1,;6.
Aplicando 2 na sintética:
r|rrrr 2 & 2 & -5 & -1 & 6 & & 4 & -2 & -6hline & 2 & -1 & -3 & 0
O resto é zero, e o quociente é 2x^2-x-3.

Passo 4

Agora fatoramos o quadrático 2x^2-x-3. Calculamos o discriminante:
De<a = (-1)^2-4cdot2cdot(-3)=1+24=25
As raízes são
x = 1pmraiz252cdot2 =1pm54,
ou seja x=tfrac64=tfrac32 e x=tfrac-44=-1.
Em fatores lineares,
2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)

Passo 5

Combinando tudo,
f(x)=(x-2)l(2x^2-x-3r) =(x-2)(2x-3)(x+1)
As raízes são x=2,;x=tfrac32,;x=-1.

Resposta

f(x)=(x-2)(2x-3)(x+1)

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