Encontre a razão entre o coeficiente de momento de arfagem em relação ao bordo de ataque e coeficiente de sustentação para asas com grande razão de aspecto com formato planar
retangular.

Passo 1

Vamos identificar com clareza o que o enunciado pede e o que ele nos dá. Pergunta: encontrar a razão entre o coeficiente de momento de arfagem em relação ao bordo de ataque e o coeficiente de sustentação, ou seja, calcular
\frac{C_{m,\text{LE}}}{C_L}.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • A asa é planar e retangular.
  • A razão de aspecto é grande (ou seja, asa de grande envergadura relativa ao corda), logo o comportamento aproxima-se do caso bidimensional (teoria de aerofólio fino / centro aerodinâmico de 2D).
  • Não foi dada geometria de curvatura ou camber explicitamente; assumimos o caso padrão de aerofólio fino onde o centro aerodinâmico está em x=\tfrac{c}{4} medido a partir do bordo de ataque (regra clássica da teoria de aerofólio fino).
    Nada mais foi pedido além da razão pedida. A partir daqui seguimos para a resolução.

Passo 2

Definimos as grandezas envolvidas e a convenção de sinais (muito importante para interpretar o resultado):
  • L é a força de sustentação (lift), positiva para cima.
  • M_{\text{LE}} é o momento de arfagem (pitching moment) em relação ao bordo de ataque (leading edge), com a convenção de momento positiva para nariz para cima.
  • S é a área da asa.
  • c é a corda da asa (para asa retangular, corda constante).
  • q é a pressão dinâmica ( q=\tfrac{1}{2}\rho V^2).
  • O coeficiente de sustentação é definido por
C_L=\frac{L}{qS}.
  • O coeficiente de momento em relação ao bordo de ataque é definido por
C_{m,\text{LE}}=\frac{M_{\text{LE}}}{qSc}.
Repare que ambos os coeficientes usam a mesma referência dinâmica qS; C_{m,\text{LE}} tem ainda a divisão por c para tornar adimensional o momento.

Passo 3

Relacionamos o momento em relação ao bordo de ataque com o momento em relação ao centro aerodinâmico e com a força de sustentação. Seja x_{\text{ac}} a distância do bordo de ataque até o centro aerodinâmico (aerodynamic center), positiva no sentido do escoamento (da frente para trás). Pela definição de momento de um sistema de forças:
M_{\text{LE}} = M_{\text{ac}} - L\,x_{\text{ac}}.
Explicação da equação (passo a passo, sem pular etapas):
  • M_{\text{ac}} é o momento em torno do centro aerodinâmico. Por definição do centro aerodinâmico para um aerofólio fino, esse momento é independente do ângulo de ataque (constante) e, para um aerofólio simétrico, M_{\text{ac}}=0.
  • A força L age efetivamente em uma aplicação localizada no centro aerodinâmico; ao tomar momento em relação ao bordo de ataque, essa força gera um braço x_{\text{ac}}. Como L aponta para cima e está localizada atrás do bordo de ataque, seu efeito sobre o bordo de ataque tende a provocar um momento que gira o nariz para baixo — ou seja, contribui negativamente para o sinal positivo de momento (por isso o sinal menos).
  • Portanto a expressão M_{\text{LE}} = M_{\text{ac}} - L\,x_{\text{ac}} é a forma correta com nossa convenção de sinais.

Passo 4

Passamos agora a usar as aproximações que o enunciado permite (asa retangular, grande razão de aspecto):
  • Para asas de grande razão de aspecto a resposta aproxima-se da solução bidimensional do aerofólio. Na teoria de aerofólio fino (caso clássico), o centro aerodinâmico está localizado em
x_{\text{ac}}=\frac{c}{4}.
  • Para um aerofólio simétrico, o momento em torno do centro aerodinâmico é nulo:
M_{\text{ac}}=0.
(Se o aerofólio fosse muito camberado haveria um M_{\text{ac}} constante diferente de zero; mas o enunciado de exame típico pede a aproximação padrão com x_{\text{ac}}=\tfrac{c}{4}.)
Substituindo estes valores na relação do Passo 3 obtemos:
M_{\text{LE}} = 0 - L\left(\frac{c}{4}\right) = -\frac{L c}{4}.

Passo 5

Agora dividimos por qSc para obter a razão dos coeficientes pedida. Começando das definições:
C_{m,\text{LE}}=\frac{M_{\text{LE}}}{qSc},\qquad C_L=\frac{L}{qS}.
Substituindo M_{\text{LE}} = -\dfrac{Lc}{4} na expressão de C_{m,\text{LE}}:
C_{m,\text{LE}}=\frac{-\dfrac{L c}{4}}{qSc} = -\frac{L}{qS}\cdot\frac{1}{4} = -\frac{1}{4}C_L.
Logo a razão pedida é
\frac{C_{m,\text{LE}}}{C_L} = -\frac{1}{4}.
Interpretação física rápida: o sinal negativo indica que, para uma sustentação positiva (para cima), o momento em relação ao bordo de ataque tende a ser de nariz-para-baixo (momento negativo segundo nossa convenção), e o fator 1/4 vem da posição do centro aerodinâmico ao longo da corda (um quarto da corda atrás do bordo de ataque).

Passo 6

Observações finais, para você sair confiante:
  • Se a asa/aerofólio for camberada e tiver M_{\text{ac}}\neq 0, a relação muda: dividiríamos M_{\text{LE}}=M_{\text{ac}}-Lx_{\text{ac}} por qSc e teríamos um termo adicional \dfrac{M_{\text{ac}}}{qSc}. Mas a contribuição proporcional a C_L continua sendo -x_{\text{ac}}/c, que para o caso padrão é -1/4.
  • Em provas frequentemente esperam exatamente essa resposta simples -\tfrac{1}{4} para asas retangulares de grande razão de aspecto (aproximação de aerofólio fino).
    Força aí, você já tem o caminho completo para justificar a resposta!

Resposta

-\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados