Encontre a razão entre o coeficiente de momento de arfagem em relação ao bordo de ataque e coeficiente de sustentação para asas com grande razão de aspecto com formato planar
retangular.
retangular.
Passo 1
Vamos identificar com clareza o que o enunciado pede e o que ele nos dá. Pergunta: encontrar a razão entre o coeficiente de momento de arfagem em relação ao bordo de ataque e o coeficiente de sustentação, ou seja, calcular
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- A asa é planar e retangular.
- A razão de aspecto é grande (ou seja, asa de grande envergadura relativa ao corda), logo o comportamento aproxima-se do caso bidimensional (teoria de aerofólio fino / centro aerodinâmico de 2D).
- Não foi dada geometria de curvatura ou camber explicitamente; assumimos o caso padrão de aerofólio fino onde o centro aerodinâmico está em
medido a partir do bordo de ataque (regra clássica da teoria de aerofólio fino).
Nada mais foi pedido além da razão pedida. A partir daqui seguimos para a resolução.
Passo 2
Definimos as grandezas envolvidas e a convenção de sinais (muito importante para interpretar o resultado):
-
é a força de sustentação (lift), positiva para cima. -
é o momento de arfagem (pitching moment) em relação ao bordo de ataque (leading edge), com a convenção de momento positiva para nariz para cima. -
é a área da asa. -
é a corda da asa (para asa retangular, corda constante). -
é a pressão dinâmica ( ). - O coeficiente de sustentação é definido por
- O coeficiente de momento em relação ao bordo de ataque é definido por
Repare que ambos os coeficientes usam a mesma referência dinâmica
;
tem ainda a divisão por
para tornar adimensional o momento.
Passo 3
Relacionamos o momento em relação ao bordo de ataque com o momento em relação ao centro aerodinâmico e com a força de sustentação. Seja
a distância do bordo de ataque até o centro aerodinâmico (aerodynamic center), positiva no sentido do escoamento (da frente para trás). Pela definição de momento de um sistema de forças:
Explicação da equação (passo a passo, sem pular etapas):
-
é o momento em torno do centro aerodinâmico. Por definição do centro aerodinâmico para um aerofólio fino, esse momento é independente do ângulo de ataque (constante) e, para um aerofólio simétrico, . - A força
age efetivamente em uma aplicação localizada no centro aerodinâmico; ao tomar momento em relação ao bordo de ataque, essa força gera um braço . Como aponta para cima e está localizada atrás do bordo de ataque, seu efeito sobre o bordo de ataque tende a provocar um momento que gira o nariz para baixo — ou seja, contribui negativamente para o sinal positivo de momento (por isso o sinal menos). - Portanto a expressão
é a forma correta com nossa convenção de sinais.
Passo 4
Passamos agora a usar as aproximações que o enunciado permite (asa retangular, grande razão de aspecto):
- Para asas de grande razão de aspecto a resposta aproxima-se da solução bidimensional do aerofólio. Na teoria de aerofólio fino (caso clássico), o centro aerodinâmico está localizado em
- Para um aerofólio simétrico, o momento em torno do centro aerodinâmico é nulo:
(Se o aerofólio fosse muito camberado haveria um
constante diferente de zero; mas o enunciado de exame típico pede a aproximação padrão com
.)
Substituindo estes valores na relação do Passo 3 obtemos:
Substituindo estes valores na relação do Passo 3 obtemos:
Passo 5
Agora dividimos por
para obter a razão dos coeficientes pedida. Começando das definições:
Substituindo
na expressão de
:
Logo a razão pedida é
Interpretação física rápida: o sinal negativo indica que, para uma sustentação positiva (para cima), o momento em relação ao bordo de ataque tende a ser de nariz-para-baixo (momento negativo segundo nossa convenção), e o fator
vem da posição do centro aerodinâmico ao longo da corda (um quarto da corda atrás do bordo de ataque).
Passo 6
Observações finais, para você sair confiante:
- Se a asa/aerofólio for camberada e tiver
, a relação muda: dividiríamos por e teríamos um termo adicional . Mas a contribuição proporcional a continua sendo , que para o caso padrão é . - Em provas frequentemente esperam exatamente essa resposta simples
para asas retangulares de grande razão de aspecto (aproximação de aerofólio fino).
Força aí, você já tem o caminho completo para justificar a resposta!