Questão 4. Uma asa, de forma elíptica, sem torção, com perfil de aerofólio simétrico é articulada de maneira simétrica em um túnel de vento com uma incidência \alpha_{1} em relação a um escoamento axial no túnel de velocidade U_{\infty}. A asa também tem uma pequena velocidade
angular \omega em torno do eixo do túnel. Mostre que a distribuição de circulação ao longo da envergadura da asa é
\Gamma=2 b U_{\infty}\left(A_{1} \operatorname{sen} \theta+A_{2} \operatorname{sen} 2 \theta\right)
e determine A_{1} e A_{2} em termos dos parâmetros da asa. Despreze o bloqueio do túnel.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que a distribuição de circulação ao longo da envergadura tem a forma
\Gamma=2 b U_{\infty}\left(A_{1} \operatorname{sen}\theta + A_{2} \operatorname{sen}2\theta\right).
  1. Determinar A_{1} e A_{2} em termos dos parâmetros da asa.
Informações e dados fornecidos pelo enunciado (lista explícita):
  • A asa tem forma planform elíptica e sem torção (portanto a distribuição de corda é a da elipse).
  • O aerofólio é simétrico (logo o ângulo de zero sustentação \alpha_{L0}=0).
  • A asa está articulada com uma incidência uniforme \alpha_{1} em relação ao escoamento axial de velocidade U_{\infty}.
  • A asa tem pequena velocidade angular \omega em torno do eixo do túnel (eixo do fluxo).
  • Desprezamos o bloqueio do túnel.
  • Devemos trabalhar no regime de pequenas inclinações (linearização válida).
Não se resolve nada neste passo; só organizamos o que foi pedido e as informações úteis.

Passo 2

Escolha de coordenadas e representação usual para lifting-line (breve explicação didática).
  • Vamos usar a coordenada de meio-envergadura y com -b\le y\le b (a envergadura total é 2b).
  • É muito comum na teoria de Prandtl fazer a mudança de variável
y=b\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi,
porque funções trigonométricas aparecem naturalmente e simplificam integrais. Nesta mudança, as extremidades y=\pm b correspondem a \theta=0 e \theta=\pi.
  • Na formulação clássica de lifting-line representa-se a circulação ligada como série de senos:
\Gamma(\theta)=2 b U_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\operatorname{sen}n\theta.
Comentário: essa forma garante \Gamma(\pm b)=0 e é a base para reduzir a integral de Biot–Savart a coeficientes A_n.

Passo 3

Condição de equilíbrio seccional (relações físicas básicas e como se chegam a equação integral).
Explicação didática das relações usadas:
  • A lei de Kutta–Joukowski diz que a força por unidade de envergadura (sustentação linear) é L'=\rho U_{\infty}\Gamma.
  • Para um perfil fino em pequeno ângulo a curva característica do perfil fornece:
c_l(y)=a\bigl(\alpha_{\text{local}}(y)-\alpha_{L0}\bigr),
onde a é a inclinação de curva de sustentação da seção (em rad^{-1}), c_l é o coeficiente de sustentação da seção e \alpha_{\text{local}} é o ângulo efetivo de ataque visto pela seção.
  • Relação entre c_l e \Gamma: por definição
c_l=\frac{L'}{\tfrac12\rho U_{\infty}^2 c}=\frac{\rho U_{\infty}\Gamma}{\tfrac12\rho U_{\infty}^2 c}=\frac{2\Gamma}{U_{\infty}c},
onde c=c(y) é a corda local.
  • Substituindo c_l em função de \Gamma obtemos a identidade local:
\frac{2\Gamma(\theta)}{U_{\infty}c(\theta)}=a\bigl(\alpha_{\text{local}}(\theta)-\alpha_{L0}\bigr).
  • A componente importante: o ângulo local \alpha_{\text{local}} é a diferença entre a incidência geométrica (ângulo do aerofólio) e o ângulo induzido pela velocidade vertical (downwash) w(\theta) dividido por U_{\infty}:
\alpha_{\text{local}}(\theta)=\alpha_{\text{geom}}(\theta)-\frac{w(\theta)}{U_{\infty}}.
  • Reescrevendo:
\alpha_{\text{geom}}(\theta)-\alpha_{L0}=\frac{w(\theta)}{U_{\infty}}+\frac{2\Gamma(\theta)}{aU_{\infty}c(\theta)}.
Isto é a equação integral de Prandtl em forma local; agora vamos colocar a expansão em série e usar propriedades da elipse para simplificar.

Passo 4

Expressões para corda e para a velocidade geométrica devida à rotação (dados concretos da asa elíptica).
  • Para planform elíptica a corda varia com y como
c(y)=c_{0}\sqrt{1-\bigl(\tfrac{y}{b}\bigr)^{2}},
onde c_{0} é a corda no centro ( y=0). Usando y=b\cos\theta isto vira
c(\theta)=c_{0}\sin\theta.
  • A incidência geométrica aplicada é a soma da incidência fixa \alpha_{1} (mesma para toda a asa, por articulação simétrica) e da contribuição cinemática da rotação \omega em torno do eixo do túnel. A rotação em torno do eixo de fluxo produz uma velocidade normal local aproximadamente \omega y (para pequenos ângulos) que corresponde a um acréscimo de ângulo \omega y/U_{\infty}. Assim
\alpha_{\text{geom}}(\theta)=\alpha_{1}+\frac{\omega y}{U_{\infty}}=\alpha_{1}+\frac{\omega b\cos\theta}{U_{\infty}}.
  • Como o aerofólio é simétrico \alpha_{L0}=0.

Passo 5

Expressão do downwash (explicação de onde vem a série e fator numérico).
  • Se representamos \Gamma(\theta)=2 b U_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\operatorname{sen}n\theta, a contribuição do campo induzido (downwash) sobre a linha de vórtices, obtida a partir da integral de Biot–Savart e manipulação matemática padrão da teoria de Prandtl, pode ser escrita (resultado clássico) como
\frac{w(\theta)}{U_{\infty}}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}nA_{n}\frac{\operatorname{sen}n\theta}{\operatorname{sen}\theta}.
Breve comentário didático: cada harmônico \operatorname{sen}n\theta no desenvolvimento da circulação gera um termo de downwash proporcional a n\operatorname{sen}n\theta/\operatorname{sen}\theta; o fator 1/2 aparece ao relacionar o prefator 2bU_{\infty} da expansão com a constante que surge na integral de Biot–Savart. Isto é padrão na dedução da equação de Prandtl em séries.

Passo 6

Colocar tudo junto na equação local e simplificar usando c(\theta)=c_{0}\sin\theta.
Reescrevemos a equação
\alpha_{\text{geom}}(\theta)-\alpha_{L0}=\frac{w(\theta)}{U_{\infty}}+\frac{2\Gamma(\theta)}{aU_{\infty}c(\theta)}
substituindo as expansões. Primeiro escrevemos \Gamma pela série e w/U_{\infty} pela série dada:
\alpha_{\text{geom}}(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}nA_{n}\frac{\operatorname{sen}n\theta}{\operatorname{sen}\theta} + \frac{2\bigl(2bU_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\operatorname{sen}n\theta\bigr)}{aU_{\infty}c(\theta)}.
Simplificando o segundo termo (observe que U_{\infty} cancela) e usando c(\theta)=c_{0}\sin\theta :
\alpha_{\text{geom}}(\theta)=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}nA_{n}\frac{\operatorname{sen}n\theta}{\operatorname{sen}\theta} + \frac{4b}{a c_{0}\sin\theta}\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\operatorname{sen}n\theta.
Multiplicando ambos os lados por \operatorname{sen}\theta para ficar sem singularidades:
\bigl(\alpha_{\text{geom}}(\theta)\bigr)\operatorname{sen}\theta = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}nA_{n}\operatorname{sen}n\theta + \frac{4b}{a c_{0}}\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\operatorname{sen}n\theta.
Agora substituímos \alpha_{\text{geom}}(\theta)=\alpha_{1}+\dfrac{\omega b\cos\theta}{U_{\infty}} e usamos a identidade trigonométrica \cos\theta\operatorname{sen}\theta=\tfrac12\operatorname{sen}2\theta.

Passo 7

Desenvolver o lado esquerdo e fazer o casamento de coeficientes por harmônico.
  • O lado esquerdo fica
\bigl(\alpha_{1}+\tfrac{\omega b}{U_{\infty}}\cos\theta\bigr)\operatorname{sen}\theta = \alpha_{1}\operatorname{sen}\theta + \frac{\omega b}{U_{\infty}}\cos\theta\operatorname{sen}\theta = \alpha_{1}\operatorname{sen}\theta + \frac{\omega b}{2U_{\infty}}\operatorname{sen}2\theta.
  • O lado direito é uma combinação linear dos \operatorname{sen}n\theta:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2} + \frac{4b}{a c_{0}}\right)A_{n}\operatorname{sen}n\theta.
  • Igualando os dois lados, observamos que o lado esquerdo só tem harmônicos \operatorname{sen}\theta e \operatorname{sen}2\theta. Portanto, todos os coeficientes A_{n} para n\ge 3 são nulos, e restam apenas A_{1} e A_{2}.

Passo 8

Escrever as equações para n=1 e n=2 extraídas do casamento de coeficientes e resolver.
  • Coeficiente de \operatorname{sen}\theta:
\alpha_{1} = \Bigl(\frac{1}{2} + \frac{4b}{a c_{0}}\Bigr) A_{1}.
  • Coeficiente de \operatorname{sen}2\theta:
\frac{\omega b}{2U_{\infty}} = \Bigl(\frac{2}{2} + \frac{4b}{a c_{0}}\Bigr) A_{2} = \Bigl(1 + \frac{4b}{a c_{0}}\Bigr) A_{2}.
  • Logo,
A_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\tfrac{1}{2}+\dfrac{4b}{a c_{0}}},\qquad A_{2}=\frac{\dfrac{\omega b}{2U_{\infty}}}{1+\dfrac{4b}{a c_{0}}}.

Passo 9

Opcional — expressão em termos da envergadura reduzida (razão de aspecto) para tornar a forma mais conhecida (explicação why).
  • A área de uma asa elíptica com corda central c_{0} e semi-envergadura b é
S=\frac{\pi}{2}b c_{0}.
  • A razão de aspecto \mathrm{AR} é \mathrm{AR}=\dfrac{(2b)^{2}}{S}=\dfrac{8b}{\pi c_{0}}.
  • Assim \dfrac{4b}{a c_{0}}=\dfrac{\pi \mathrm{AR}}{2a}. Substituindo isto nas fórmulas acima simplifica-se A_{1} para uma forma frequente:
A_{1}=\frac{2\alpha_{1}}{1+\dfrac{\pi\mathrm{AR}}{a}},\qquad A_{2}=\frac{\dfrac{\omega b}{2U_{\infty}}}{1+\dfrac{\pi\mathrm{AR}}{2a}}.
Se for o caso de um perfil fino clássico, a\approx 2\pi (por exemplo), pode-se inserir esse valor para números concretos.

Resposta

\Gamma(\theta)=2 b U_{\infty}\left(A_{1}\operatorname{sen}\theta + A_{2}\operatorname{sen}2\theta\right)
A_{1}=\frac{\alpha_{1}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{4b}{a c_{0}}}=\frac{2\alpha_{1}}{1+\dfrac{\pi\mathrm{AR}}{a}}
A_{2}=\frac{\dfrac{\omega b}{2U_{\infty}}}{1+\dfrac{4b}{a c_{0}}}=\frac{\dfrac{\omega b}{2U_{\infty}}}{1+\dfrac{\pi\mathrm{AR}}{2a}}

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