Questão 4. Uma asa, de forma elíptica, sem torção, com perfil de aerofólio simétrico é articulada de maneira simétrica em um túnel de vento com uma incidência
em relação a um escoamento axial no túnel de velocidade
. A asa também tem uma pequena velocidade
angular
em torno do eixo do túnel. Mostre que a distribuição de circulação ao longo da envergadura da asa é
e determine
e
em termos dos parâmetros da asa. Despreze o bloqueio do túnel.
angular
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que a distribuição de circulação ao longo da envergadura tem a forma
- Determinar
e em termos dos parâmetros da asa.
Informações e dados fornecidos pelo enunciado (lista explícita):
- A asa tem forma planform elíptica e sem torção (portanto a distribuição de corda é a da elipse).
- O aerofólio é simétrico (logo o ângulo de zero sustentação
). - A asa está articulada com uma incidência uniforme
em relação ao escoamento axial de velocidade . - A asa tem pequena velocidade angular
em torno do eixo do túnel (eixo do fluxo). - Desprezamos o bloqueio do túnel.
- Devemos trabalhar no regime de pequenas inclinações (linearização válida).
Não se resolve nada neste passo; só organizamos o que foi pedido e as informações úteis.
Passo 2
Escolha de coordenadas e representação usual para lifting-line (breve explicação didática).
- Vamos usar a coordenada de meio-envergadura
com (a envergadura total é ). - É muito comum na teoria de Prandtl fazer a mudança de variável
porque funções trigonométricas aparecem naturalmente e simplificam integrais. Nesta mudança, as extremidades
correspondem a
e
.
- Na formulação clássica de lifting-line representa-se a circulação ligada como série de senos:
Comentário: essa forma garante
e é a base para reduzir a integral de Biot–Savart a coeficientes
.
Passo 3
Condição de equilíbrio seccional (relações físicas básicas e como se chegam a equação integral).
Explicação didática das relações usadas:
Explicação didática das relações usadas:
- A lei de Kutta–Joukowski diz que a força por unidade de envergadura (sustentação linear) é
. - Para um perfil fino em pequeno ângulo a curva característica do perfil fornece:
onde
é a inclinação de curva de sustentação da seção (em rad^{-1}),
é o coeficiente de sustentação da seção e
é o ângulo efetivo de ataque visto pela seção.
- Relação entre
e : por definição
onde
é a corda local.
- Substituindo
em função de obtemos a identidade local:
- A componente importante: o ângulo local
é a diferença entre a incidência geométrica (ângulo do aerofólio) e o ângulo induzido pela velocidade vertical (downwash) dividido por :
- Reescrevendo:
Isto é a equação integral de Prandtl em forma local; agora vamos colocar a expansão em série e usar propriedades da elipse para simplificar.
Passo 4
Expressões para corda e para a velocidade geométrica devida à rotação (dados concretos da asa elíptica).
- Para planform elíptica a corda varia com
como
onde
é a corda no centro (
). Usando
isto vira
- A incidência geométrica aplicada é a soma da incidência fixa
(mesma para toda a asa, por articulação simétrica) e da contribuição cinemática da rotação em torno do eixo do túnel. A rotação em torno do eixo de fluxo produz uma velocidade normal local aproximadamente (para pequenos ângulos) que corresponde a um acréscimo de ângulo . Assim
- Como o aerofólio é simétrico
.
Passo 5
Expressão do downwash (explicação de onde vem a série e fator numérico).
- Se representamos
, a contribuição do campo induzido (downwash) sobre a linha de vórtices, obtida a partir da integral de Biot–Savart e manipulação matemática padrão da teoria de Prandtl, pode ser escrita (resultado clássico) como
Breve comentário didático: cada harmônico
no desenvolvimento da circulação gera um termo de downwash proporcional a
; o fator
aparece ao relacionar o prefator
da expansão com a constante que surge na integral de Biot–Savart. Isto é padrão na dedução da equação de Prandtl em séries.
Passo 6
Colocar tudo junto na equação local e simplificar usando
.
Reescrevemos a equação
Reescrevemos a equação
substituindo as expansões. Primeiro escrevemos
pela série e
pela série dada:
Simplificando o segundo termo (observe que
cancela) e usando
:
Multiplicando ambos os lados por
para ficar sem singularidades:
Agora substituímos
e usamos a identidade trigonométrica
.
Passo 7
Desenvolver o lado esquerdo e fazer o casamento de coeficientes por harmônico.
- O lado esquerdo fica
- O lado direito é uma combinação linear dos
:
- Igualando os dois lados, observamos que o lado esquerdo só tem harmônicos
e . Portanto, todos os coeficientes para são nulos, e restam apenas e .
Passo 8
Escrever as equações para
e
extraídas do casamento de coeficientes e resolver.
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Logo,
Passo 9
Opcional — expressão em termos da envergadura reduzida (razão de aspecto) para tornar a forma mais conhecida (explicação why).
- A área de uma asa elíptica com corda central
e semi-envergadura é
- A razão de aspecto
é . - Assim
. Substituindo isto nas fórmulas acima simplifica-se para uma forma frequente:
Se for o caso de um perfil fino clássico,
(por exemplo), pode-se inserir esse valor para números concretos.