No estado fundamental de um átomo de hidrogênio, de acordo com a teoria de Bohr, qual é
a força sobre o elétron?

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a força sobre o elétron quando o átomo de hidrogênio está em seu estado fundamental, segundo o modelo de Bohr.\n
Informações relevantes dadas ou que usamos (sem resolver ainda):\n
  • Estado fundamental significa número quântico principal n=1.\n
  • No modelo de Bohr o elétron descreve uma órbita circular ao redor do núcleo (próton) e há duas condições que vamos usar: a lei de Coulomb para a força elétrica entre cargas e a condição de quantização do momento angular de Bohr.\n
  • Constantes físicas que vamos precisar (vou usar seus valores numéricos conhecidos): carga elementar e, massa do elétron m_e, constante de permissividade do vácuo \varepsilon_0 e a constante reduzida de Planck \hbar. Não é preciso que o enunciado as dê explicitamente — são constantes universais.\n

Passo 2

Explicando a ideia física e as equações que valem no modelo de Bohr (sem resolver ainda).\n
  1. Força elétrica entre próton (carga +e) e elétron (carga -e) é dada pela lei de Coulomb. A magnitude dessa força é
F_{\text{Coulomb}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2},
onde r é o raio da órbita do elétron (distância núcleo–elétron). Aqui e é a carga elementar, \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.\n
2) Para movimento circular uniforme, a força elétrica fornece a força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita:
\frac{m_e v^2}{r}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2},
onde m_e é a massa do elétron e v sua velocidade orbital.\n
3) A condição de quantização de Bohr (postulado) diz que o momento angular do elétron é quantizado:
m_e v r = n\hbar,
onde n é o número quântico principal (aqui n=1) e \hbar é a constante de Planck reduzida. Vamos usar essa condição para eliminar v e obter r (o raio) e depois a força.

Passo 3

Usando a condição de quantização para escrever v em função de r.\n
Da condição m_e v r = n\hbar temos
v=\frac{n\hbar}{m_e r}.
Expliquei: isso vem de isolar v na expressão do momento angular; m_e é massa do elétron, r raio da órbita, n inteiro positivo e \hbar constante reduzida de Planck.

Passo 4

Substituir v na equação de equilíbrio centrípeto = Coulomb para determinar o raio r.\n
A equação centrípeta era
\frac{m_e v^2}{r}= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2}.
Substituindo v=\dfrac{n\hbar}{m_e r}:
\frac{m_e}{r}\left(\frac{n\hbar}{m_e r}\right)^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2}.
Simplificando o lado esquerdo:
\frac{m_e}{r}\cdot\frac{n^2\hbar^2}{m_e^2 r^2}=\frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3}.
Então
\frac{n^2\hbar^2}{m_e r^3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{r^2}.
Multiplicando ambos os lados por r^3 e isolando r:
n^2\hbar^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,e^2\,m_e\,r.
Logo
r=\frac{4\pi\varepsilon_0\,\hbar^2}{m_e e^2}\,n^2.
Essa é a expressão do raio da órbita de Bohr; para n=1 obtemos o raio fundamental, chamado raio de Bohr a_0:
a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\,\hbar^2}{m_e e^2}.

Passo 5

Agora escrevemos a força elétrica no estado fundamental substituindo r=a_0 na expressão de Coulomb.\n
A magnitude da força é
F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{a_0^2}.
Explico: essa é simplesmente a lei de Coulomb avaliada no raio da órbita do estado n=1. A direção da força é radial, apontando do elétron para o próton (atração).

Passo 6

Vamos calcular numericamente F. Primeiro os valores das constantes que usaremos (valores padrão SI):\n
e=1{,}602176634\times10^{-19}\,\mathrm{C},
a_0=5{,}29177210903\times10^{-11}\,\mathrm{m}\quad\text{(valor do raio de Bohr)},
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=k=8{,}9875517923\times10^9\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
Observação: eu usei o valor padrão conhecido de a_0 em vez de recalculá-lo a partir de \hbar,m_e,e,\varepsilon_0 para poupar passos numéricos longos; se quiser eu mostro essa substituição explícita.

Passo 7

Cálculo passo a passo (aritmética):\n
  1. Calcular e^2:
e^2=(1{,}602176634\times10^{-19})^2=2{,}5669699\times10^{-38}\,\mathrm{C^2}.
  1. Calcular k e^2:
k e^2=(8{,}9875517923\times10^9)\cdot(2{,}5669699\times10^{-38}) =2{,}3070775\times10^{-28}\\ \mathrm{N\,m^2}.
  1. Calcular a_0^2:
a_0^2=(5{,}29177210903\times10^{-11})^2=2{,}8002852\times10^{-21}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Dividir para obter F:
F=\frac{k e^2}{a_0^2}=\frac{2{,}3070775\times10^{-28}}{2{,}8002852\times10^{-21}} =8{,}238\times10^{-8}\\ \mathrm{N}.
Arredondando com três algarismos significativos, obtemos F\approx8{,}24\times10^{-8}\\ \mathrm{N}.

Passo 8

Interpretação final e direção: a força é atrativa (o próton atrai o elétron), portanto o vetor força aponta radialmente do elétron para o núcleo (no sentido centrípeto). A magnitude calculada é a força necessária para fornecer a aceleração centrípeta do elétron na órbita de Bohr no estado fundamental.

Resposta

F\approx8{,}24\times10^{-8}\\ \mathrm{N} (magnitude)\n
Direção: radial, apontando do elétron para o núcleo (força atrativa).

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