No estado fundamental de um átomo de hidrogênio, de acordo com a teoria de Bohr, qual é
a força sobre o elétron?
a força sobre o elétron?
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a força sobre o elétron quando o átomo de hidrogênio está em seu estado fundamental, segundo o modelo de Bohr.\n
Informações relevantes dadas ou que usamos (sem resolver ainda):\n
Informações relevantes dadas ou que usamos (sem resolver ainda):\n
- Estado fundamental significa número quântico principal
.\n - No modelo de Bohr o elétron descreve uma órbita circular ao redor do núcleo (próton) e há duas condições que vamos usar: a lei de Coulomb para a força elétrica entre cargas e a condição de quantização do momento angular de Bohr.\n
- Constantes físicas que vamos precisar (vou usar seus valores numéricos conhecidos): carga elementar
, massa do elétron , constante de permissividade do vácuo e a constante reduzida de Planck . Não é preciso que o enunciado as dê explicitamente — são constantes universais.\n
Passo 2
Explicando a ideia física e as equações que valem no modelo de Bohr (sem resolver ainda).\n
- Força elétrica entre próton (carga
) e elétron (carga ) é dada pela lei de Coulomb. A magnitude dessa força é
onde
é o raio da órbita do elétron (distância núcleo–elétron). Aqui
é a carga elementar,
é a permissividade do vácuo.\n
2) Para movimento circular uniforme, a força elétrica fornece a força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita:
2) Para movimento circular uniforme, a força elétrica fornece a força centrípeta necessária para manter o elétron na órbita:
onde
é a massa do elétron e
sua velocidade orbital.\n
3) A condição de quantização de Bohr (postulado) diz que o momento angular do elétron é quantizado:
3) A condição de quantização de Bohr (postulado) diz que o momento angular do elétron é quantizado:
onde
é o número quântico principal (aqui
) e
é a constante de Planck reduzida. Vamos usar essa condição para eliminar
e obter
(o raio) e depois a força.
Passo 3
Usando a condição de quantização para escrever
em função de
.\n
Da condição temos
Da condição
Expliquei: isso vem de isolar
na expressão do momento angular;
é massa do elétron,
raio da órbita,
inteiro positivo e
constante reduzida de Planck.
Passo 4
Substituir
na equação de equilíbrio centrípeto = Coulomb para determinar o raio
.\n
A equação centrípeta era
A equação centrípeta era
Substituindo
:
Simplificando o lado esquerdo:
Então
Multiplicando ambos os lados por
e isolando
:
Logo
Essa é a expressão do raio da órbita de Bohr; para
obtemos o raio fundamental, chamado raio de Bohr
:
Passo 5
Agora escrevemos a força elétrica no estado fundamental substituindo
na expressão de Coulomb.\n
A magnitude da força é
A magnitude da força é
Explico: essa é simplesmente a lei de Coulomb avaliada no raio da órbita do estado
. A direção da força é radial, apontando do elétron para o próton (atração).
Passo 6
Vamos calcular numericamente
. Primeiro os valores das constantes que usaremos (valores padrão SI):\n
Observação: eu usei o valor padrão conhecido de
em vez de recalculá-lo a partir de
para poupar passos numéricos longos; se quiser eu mostro essa substituição explícita.
Passo 7
Cálculo passo a passo (aritmética):\n
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Dividir para obter
:
Arredondando com três algarismos significativos, obtemos
.
Passo 8
Interpretação final e direção: a força é atrativa (o próton atrai o elétron), portanto o vetor força aponta radialmente do elétron para o núcleo (no sentido centrípeto). A magnitude calculada é a força necessária para fornecer a aceleração centrípeta do elétron na órbita de Bohr no estado fundamental.
Resposta
Direção: radial, apontando do elétron para o núcleo (força atrativa).