Encontre a representação das curvas em coordenadas polares:
;
Passo 1
O enunciado pede a representação da curva dada pela equação em coordenadas cartesianas
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A equação da curva é
. - Não há mais dados numéricos nem figura.
Passo 2
O primeiro passo é lembrar como passar de coordenadas cartesianas
para coordenadas polares
. As definições são:
onde:
-
é a distância do ponto à origem (o comprimento do raio), -
é o ângulo medido a partir do eixo positivo (em radianos).
Vou usar essas relações para substituire na equação dada.
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
fica
Agora desenvolvo os quadrados:
Passo 4
Fatoro
no lado esquerdo:
Aqui usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
Substituindo essa identidade obtemos uma forma muito mais compacta:
Passo 5
A equação em coordenadas polares pode ser deixada na forma
. Esta é uma representação direta e correta da curva em coordenadas polares. Posso também isolar
(lembrando que
):
Tomando raiz quadrada (e mantendo
):
desde que o radicando seja não negativo, isto é, desde que
.
Passo 6
Interpretação das restrições e dos pontos especiais:
- A condição
define os ângulos para os quais a expressão acima fornece real não negativo. Esses intervalos são
ou seja, faixas centradas em
com raio angular
.
- Os ângulos onde
são . Nesses ângulos a equação original tem , que são as retas ; essas retas são assíntotas da hipérbole, e em polar correspondem a ângulos onde tende ao infinito (a forma fica impossível para finito quando ). - Para ângulos dentro dos intervalos com
, é dado pela fórmula acima e descreve os dois ramos da hipérbole (próximos de positivo e negativo, dependendo de ).
Passo 7
Pequenos exemplos numéricos para ver como funciona:
- Se
então , logo e . Isso corresponde ao ponto , que realmente satisfaz . - Se
então , logo e . Convertendo, etc., e verifica-se que . - Se
então : não existe finito que satisfaça a equação — corresponde à assíntota.