Encontre a representação das curvas em coordenadas polares:
x^{2}-y^{2}=9;

Passo 1

O enunciado pede a representação da curva dada pela equação em coordenadas cartesianas \,x^{2}-y^{2}=9\,.
Informações fornecidas:
  • A equação da curva é \,x^{2}-y^{2}=9\,.
  • Não há mais dados numéricos nem figura.

Passo 2

O primeiro passo é lembrar como passar de coordenadas cartesianas (x,y) para coordenadas polares (r,\theta). As definições são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde:
  • \,r\ge 0\, é a distância do ponto à origem (o comprimento do raio),
  • \,\theta\in\mathbb{R}\, é o ângulo medido a partir do eixo x positivo (em radianos).
    Vou usar essas relações para substituir x e y na equação dada.

Passo 3

Substituindo \,x=r\cos\theta\, e \,y=r\sin\theta\, na equação original:
x^{2}-y^{2}=9
fica
(r\cos\theta)^{2} - (r\sin\theta)^{2} = 9.
Agora desenvolvo os quadrados:
r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta = 9.

Passo 4

Fatoro r^{2} no lado esquerdo:
r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr)=9.
Aqui usamos a identidade trigonométrica de ângulo duplo:
\cos(2\theta)=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta.
Substituindo essa identidade obtemos uma forma muito mais compacta:
r^{2}\cos(2\theta)=9.

Passo 5

A equação em coordenadas polares pode ser deixada na forma r^{2}\cos(2\theta)=9. Esta é uma representação direta e correta da curva em coordenadas polares. Posso também isolar r (lembrando que r\ge 0):
r^{2}=\frac{9}{\cos(2\theta)}=\;9\operatorname{sec}(2\theta).
Tomando raiz quadrada (e mantendo r\ge 0):
r=\frac{3}{\sqrt{\cos(2\theta)}},
desde que o radicando seja não negativo, isto é, desde que \cos(2\theta)>0.

Passo 6

Interpretação das restrições e dos pontos especiais:
  • A condição \cos(2\theta)>0 define os ângulos \theta para os quais a expressão acima fornece r real não negativo. Esses intervalos são
\theta\in\bigl(k\pi-\tfrac{\pi}{4},\,k\pi+\tfrac{\pi}{4}\bigr),\qquad k\in\mathbb{Z},
ou seja, faixas centradas em \theta=k\pi com raio angular \pi/4.
  • Os ângulos onde \cos(2\theta)=0 são \theta=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{k\pi}{2}. Nesses ângulos a equação original tem x^{2}-y^{2}=0, que são as retas y=\pm x; essas retas são assíntotas da hipérbole, e em polar correspondem a ângulos onde r tende ao infinito (a forma r^{2}\cos2\theta=9 fica impossível para r finito quando \cos2\theta=0).
  • Para ângulos dentro dos intervalos com \cos(2\theta)>0, r é dado pela fórmula acima e descreve os dois ramos da hipérbole (próximos de x positivo e x negativo, dependendo de \theta).

Passo 7

Pequenos exemplos numéricos para ver como funciona:
  • Se \theta=0 então \cos(2\theta)=\cos 0=1, logo r^{2}=9 e r=3. Isso corresponde ao ponto (x,y)=(3,0), que realmente satisfaz x^{2}-y^{2}=9.
  • Se \theta=\tfrac{\pi}{6} então \cos(2\theta)=\cos\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{1}{2}, logo r^{2}=18 e r=3\sqrt{2}. Convertendo, x=r\cos\theta=3\sqrt{2}\cdot\cos\tfrac{\pi}{6}=3\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} etc., e verifica-se que x^{2}-y^{2}=9.
  • Se \theta=\tfrac{\pi}{4} então \cos(2\theta)=\cos\tfrac{\pi}{2}=0: não existe r finito que satisfaça a equação — corresponde à assíntota.

Resposta

r^{2}\cos(2\theta)=9
r=\dfrac{3}{\sqrt{\cos(2\theta)}},\quad \cos(2\theta)>0

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