Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)= 1 & se 0á

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a representação integral de Fourier para a função $ f(x) $ definida da seguinte maneira:
f(x) á
Isso significa que $ f(x) $ é igual a 1 entre 0 e 1, e zero em todo o resto. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que nos ajuda a representar funções no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de Fourier e entender como aplicá-la a funções que são zero em grande parte do seu domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da transformada de Fourier para uma função $ f(x) $:
f(x)
Aqui, $ F(a) $ é a transformada de Fourier de $ f(x) $, e $ a $ é a variável de frequência que estamos usando. A função $ e^{-i a x} $ é uma função complexa que ajuda a decompor $ f(x) $ em suas componentes de frequência.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função $ f(x) $ na fórmula da transformada de Fourier. Sabemos que $ f(x) $ é 1 entre 0 e 1, e zero em outro lugar. Então, a integral fica:
f(x)
Observe que reduzimos os limites da integral de f(x) a F(a) = integral-infty^+infty f(x) e^-i a x , dx = integral0^1 1 cdot e^-i a x , dx para 0 a 1, porque $ f(x) $ é zero fora desse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
F(a) = integral0^1 e^-i a x , dx
Para integrar $ e^{-i a x} $, lembramos que a integral de $ e^{k x} $ em relação a $ x $ é $ \frac{e^{k x}}{k} $, onde $ k $ é uma constante.

Passo 5

Aplicando essa regra, temos:
F(a) = [ e^-i a x-i a ]0^1 = e^-i a cdot 1 - e^-i a cdot 0-i a = e^-i a - 1-i a
Podemos simplificar isso um pouco mais:
F(a) = 1 - e^-i ai a

Passo 6

Para deixar a expressão mais elegante, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $ e^{i a/2} $ para utilizar a fórmula de Euler e obter uma forma mais compacta:
e^i a/2

Resposta

A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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