Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a representação integral de Fourier para a função $ f(x) $ definida da seguinte maneira:
Isso significa que $ f(x) $ é igual a 1 entre 0 e 1, e zero em todo o resto. Para resolver isso, vamos usar a transformada de Fourier, que nos ajuda a representar funções no domínio da frequência. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada de Fourier e entender como aplicá-la a funções que são zero em grande parte do seu domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da transformada de Fourier para uma função $ f(x) $:
Aqui, $ F(a) $ é a transformada de Fourier de $ f(x) $, e $ a $ é a variável de frequência que estamos usando. A função $ e^{-i a x} $ é uma função complexa que ajuda a decompor $ f(x) $ em suas componentes de frequência.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função $ f(x) $ na fórmula da transformada de Fourier. Sabemos que $ f(x) $ é 1 entre 0 e 1, e zero em outro lugar. Então, a integral fica:
Observe que reduzimos os limites da integral de
a
para 0 a 1, porque $ f(x) $ é zero fora desse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Para integrar $ e^{-i a x} $, lembramos que a integral de $ e^{k x} $ em relação a $ x $ é $ \frac{e^{k x}}{k} $, onde $ k $ é uma constante.
Passo 5
Aplicando essa regra, temos:
Podemos simplificar isso um pouco mais:
Passo 6
Para deixar a expressão mais elegante, podemos multiplicar o numerador e o denominador por $ e^{i a/2} $ para utilizar a fórmula de Euler e obter uma forma mais compacta:
Resposta
A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é: