Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)= 1 & se -aá

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a representação integral de Fourier da função dada. Estamos lidando com transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para analisar funções em termos de ondas senoidais. Para isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e aplicar algumas técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Fourier para uma função $ f(x) $:
f(x)
Aqui, $ \omega $ representa a frequência angular e $ i $ é a unidade imaginária. Essa integral nos dá a representação da função no domínio das frequências.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função específica:
f(x) = 1 & se -a < x < a, 0 & caso contrário á
Como a função é igual a zero fora do intervalo [-a, a], a integral vai se reduzir apenas a esse intervalo.

Passo 4

Substituindo $ f(x) $ na integral da transformada de Fourier, temos:
f(x)
Simplificando, a integral fica:
F(omega) = integral-a^a 1 cdot e^-i omega x , dx

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos integrar a exponencial complexa. A antiderivada de $ e^{-i \omega x} $ em relação a $ x $ é:
e^-i omega x
Então, aplicando os limites de integração:
x

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão usando a identidade de Euler $ e^{i \theta} - e^{-i \theta} = 2i \sin(\theta) $:
e^i theta - e^-i theta = 2i sin(theta)
Podemos também escrever isso em termos de $ \pi $ se formos considerar a normalização da transformada de Fourier, mas para esta solução básica, essa forma já está correta.

Resposta

A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

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