Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a representação integral de Fourier da função dada. Estamos lidando com transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para analisar funções em termos de ondas senoidais. Para isso, vamos precisar usar a definição da transformada de Fourier e aplicar algumas técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Fourier para uma função $ f(x) $:
Aqui, $ \omega $ representa a frequência angular e $ i $ é a unidade imaginária. Essa integral nos dá a representação da função no domínio das frequências.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função específica:
Como a função é igual a zero fora do intervalo
, a integral vai se reduzir apenas a esse intervalo.
Passo 4
Substituindo $ f(x) $ na integral da transformada de Fourier, temos:
Simplificando, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos integrar a exponencial complexa. A antiderivada de $ e^{-i \omega x} $ em relação a $ x $ é:
Então, aplicando os limites de integração:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão usando a identidade de Euler $ e^{i \theta} - e^{-i \theta} = 2i \sin(\theta) $:
Podemos também escrever isso em termos de $ \pi $ se formos considerar a normalização da transformada de Fourier, mas para esta solução básica, essa forma já está correta.
Resposta
A representação integral de Fourier da função $ f(x) $ é: