Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)= x & se 0á

Passo 1

A função é um “triângulo” em ,[0,2], com f(x)=x em ,0<x<1, f(x)=2−x em ,1<x<2\ e zero fora. O conteúdo é a transformada integral de Fourier, e vamos usar a definição F(ω)=integral-∞^∞f(x)e^-iωxdx para depois inverter e escrever f(x) como integral.

Passo 2

Primeiro a gente obtém F(ω) dividindo a integral em duas partes:
$$F(ω)=\int_0^1 x e^{-iωx}dx ;+
\int_1^2 (2−x)e^{-iωx}dx.$$

Passo 3

Calcular a primeira parte I1=integral0^1 x e^-iωxdx por partes. Escolhendo u=x e dv=e^-iωxdx, temos:
$$I_1=\int_0^1 x e^{-iωx}dx=\Bigl[\frac{x e{-iωx}}{-iω}\Bigr]_01 + \frac{1}{iω}\int_0^1 e^{-iωx}dx
= i\frac{e^{-iω}}{ω} - \frac{e{-iω}-1}{ω2}.$$

Passo 4

Para a segunda parte I2=integral1^2 (2−x)e^-iωxdx, fazemos a troca y=2−x e obtemos
I2=e^-i2ωintegral0^1 y e^iωydy =e^-i2ωl[y e^iωyiωr]0^1 - e^-i2ω1iωintegral0^1 e^iωydy =e^-iωiω + e^-iω-e^-2iωω^2

Passo 5

Somando I1+I2 a parte em 1/(iω) cancela, e sobra
F(ω)=1-e^-2iωω^2

Passo 6

Finalmente, a representação integral de Fourier é dada por:
f(x)=12piintegral-infty^infty1-e^-2iωω^2,e^iωx,dω

Resposta

f(x)=12piintegral-infty^infty1-e^-2iωω^2,e^iωx,dω

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