Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
O enunciado pede a representação integral de Fourier de f(x) definida por x² no intervalo (0,a) e zero fora. O conteúdo principal é a transformada de Fourier de sinais de tempo contínuo e a fórmula inversa, e vamos precisar usar integração por partes (ou a fórmula geral para ∫₀ᵃ xⁿ e^{-iωx}dx).
Passo 2
A definição da transformada de Fourier é
Como f(x)=0 fora de (0,a), temos
Passo 3
Para calcular
podemos usar a fórmula geral
No caso n=2 obtemos
Passo 4
Finalmente, a representação integral inversa de Fourier é dada por
daí f(x) se recupera no domínio do tempo a partir de F(ω).
Resposta
A transformada de Fourier de f(x) é
A representação integral de Fourier (inversa) é