Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=clx^2 & se 0á

Passo 1

O enunciado pede a representação integral de Fourier de f(x) definida por x² no intervalo (0,a) e zero fora. O conteúdo principal é a transformada de Fourier de sinais de tempo contínuo e a fórmula inversa, e vamos precisar usar integração por partes (ou a fórmula geral para ∫₀ᵃ xⁿ e^{-iωx}dx).

Passo 2

A definição da transformada de Fourier é
F(omega)=integral-infty^+inftyf(x)e^-iomega x,dx
Como f(x)=0 fora de (0,a), temos
F(omega)=integral0^ax^2e^-iomega x,dx

Passo 3

Para calcular integral0^ax^2e^-iomega x,dx podemos usar a fórmula geral
integral0^ax^ne^-iomega x,dx=n!(iomega)^n+1l[1-e^-iomega asumk=0^n(iomega a)^kk!r]
No caso n=2 obtemos
F(omega)=2!(iomega)^3l[1-e^-iomega al(1+iomega a-(omega a)^22r)r] =2iomega^3l[1-e^-iomega al(1+iomega a-tfracomega^2a^22r)r]

Passo 4

Finalmente, a representação integral inversa de Fourier é dada por
f(x)=12piintegral-infty^+inftyF(omega)e^iomega x,domega,
daí f(x) se recupera no domínio do tempo a partir de F(ω).

Resposta

A transformada de Fourier de f(x) é
F(omega)=integral0^ax^2e^-iomega x,dx=2iomega^3l[1-e^-iomega al(1+iomega a-tfracomega^2a^22r)r]
A representação integral de Fourier (inversa) é
f(x)=12piintegral-infty^+inftyF(omega)e^iomega x,domega

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