Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos,
).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
O objetivo é encontrar a Transformada de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar lembrar da definição da Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que são zero fora de um certo intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier. Para uma função $ f(x) $, a Transformada de Fourier $ F(\omega) $ é dada por:
Essa integral transforma a função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(x) $ é diferente de zero apenas no intervalo
. Fora desse intervalo, ela é zero. Isso significa que podemos limitar os limites de integração para esse intervalo, simplificando nossa expressão:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão
. Podemos usar a identidade de Euler que relaciona funções trigonométricas com exponenciais complexas:
Substituindo essa expressão na integral, temos:
Passo 5
Vamos distribuir a fração $ \frac{1}{2} $ e multiplicar os termos exponenciais:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. A integral de uma exponencial complexa $ e^{ikx} $ é:
Aplicando isso às nossas integrais:
- Para a primeira integral:
- Para a segunda integral:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração
e
em cada uma das integrais resolvidas:
- Primeira integral:
Usando a identidade $ e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i \sin \theta $:
- Segunda integral:
Passo 8
Agora, juntamos os resultados das duas integrais multiplicadas por $ \frac{1}{2} $:
Simplificando:
Resposta
A representação integral de Fourier da função dada é: