Encontre a representação integral de Fourier das funções dadas (em todos os casos, a>0 ).
f(x)=clcos x & se -pi2á

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = cos x & se -pi2 < x < pi2, 0 & caso contrário á
O objetivo é encontrar a Transformada de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar lembrar da definição da Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que são zero fora de um certo intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Fourier. Para uma função $ f(x) $, a Transformada de Fourier $ F(\omega) $ é dada por:
f(x)
Essa integral transforma a função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências.

Passo 3

No nosso caso, a função $ f(x) $ é diferente de zero apenas no intervalo f(x) . Fora desse intervalo, ela é zero. Isso significa que podemos limitar os limites de integração para esse intervalo, simplificando nossa expressão:
-pi2 < x < pi2

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão cos x. Podemos usar a identidade de Euler que relaciona funções trigonométricas com exponenciais complexas:
cos x = e^ix + e^-ix2
Substituindo essa expressão na integral, temos:
F(omega) = integral-pi2^pi2 e^ix + e^-ix2 cdot e^-iomega x , dx

Passo 5

Vamos distribuir a fração $ \frac{1}{2} $ e multiplicar os termos exponenciais:
12
Simplificando os expoentes:
F(omega) = 12 ( integral-pi2^pi2 e^ix e^-iomega x , dx + integral-pi2^pi2 e^-ix e^-iomega x , dx )

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. A integral de uma exponencial complexa $ e^{ikx} $ é:
e^ikx
Aplicando isso às nossas integrais:
  1. Para a primeira integral:
integral e^ikx , dx = e^ikxik + C
  1. Para a segunda integral:
integral e^i(1 - omega)x , dx = e^i(1 - omega)xi(1 - omega) + C

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração -pi2 e pi2 em cada uma das integrais resolvidas:
  1. Primeira integral:
e^i(1 - omega)pi2 - e^-i(1 - omega)pi2i(1 - omega)
Usando a identidade $ e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i \sin \theta $:
e^itheta - e^-itheta = 2i sin theta
  1. Segunda integral:
2i sin((1 - omega)pi2)i(1 - omega) = 2 sin((1 - omega)pi2)1 - omega

Passo 8

Agora, juntamos os resultados das duas integrais multiplicadas por $ \frac{1}{2} $:
12
Simplificando:
F(omega) = 12 ( 2 sin((1 - omega)pi2)1 - omega + 2 sin((omega + 1)pi2)omega + 1 )

Resposta

A representação integral de Fourier da função dada é:
F(omega) = sin((1 - omega)pi2) 1 - omega + sin((omega + 1)pi2) omega + 1

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