Resolva:
y^prime prime+3 y^prime+3=e^x cos (2 x)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 3y = e^xcos(2x)
O conteúdo é resolução de EDO linear não homogênea: primeiro resolvemos a parte homogênea (achar yh), depois a particular (achar yp) por método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para achar a solução geral homogênea, montamos a equação característica associada:
r^2 + 3r + 3 = 0
Resolvendo:
r = -3 pm raiz9 - 122 = -3 pm iraiz32
Logo
yh(x) = e^-3x/2l(C1 costfracraiz32x + C2 sintfracraiz32xr)

Passo 3

Para a solução particular, usamos o palpite
yp(x) = e^xl(Acos(2x) + Bsin(2x)r)
Calculamos derivadas:
yp' = e^xl((A+2B)cos2x + (B-2A)sin2xr),
yp'' = e^xl((-3A+4B)cos2x + (-4A-3B)sin2xr)

Passo 4

Substituímos em y''+3y'+3y e igualamos a e^xcos2x. Isso dá o sistema
3A + 10B = 1, -10A + 3B = 0
Da segunda equação vem B = tfrac103A. Substituindo na primeira:
3A + 10,tfrac103A = 1 implies 3A + tfrac1003A = 1 implies A = tfrac3109,
B = tfrac10109
Logo
yp(x) = e^xl(tfrac3109cos2x + tfrac10109sin2xr)

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma das duas partes:
y(x) = yh(x) + yp(x)

Resposta

boxedy(x) = e^-3x/2l(C1 costfracraiz32x + C2 sintfracraiz32xr) + e^xl(tfrac3109cos2x + tfrac10109sin2xr)

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